Блик на воде

Нарисуем вид канала сверху (см. рис. 1) и обозначим на нём положения автобуса, блика и столба буквами \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно. Пусть в момент времени \(t = 0\) автобус находился в начале системы координат \(XOY\) — точке \(O\), причём прямая \(OC\) была перпендикулярна берегам канала. Тогда \(OA = vt\). Обозначим также \(OC = L\), \(AC = l\), \(AB = l_1\), \(BC = l_2\).

Рассмотрим вид сбоку в плоскости \(ACB\) (см. рис. 2) и обозначим местонахождение глаз пассажира \(A_1\), а вершину столба \(C_1\). Так как угол падения \(A_1BA\) равен углу отражения \(C_1BC\), то \[\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{h}{l_1} = \dfrac{H}{l_2}.\]

Кроме того, \[l_1 + l_2 = l = \dfrac{L}{\sin\beta}.\] Выражая из первого уравнения значение \(l_2\) и подставляя его во второе, находим \(l_1\): \[l_1 = \dfrac{hL}{(h + H)\sin\beta}.\] Отсюда координаты блика: \[x_B = vt - l_1\cos\beta = vt - \dfrac{hL\operatorname{ctg}\beta}{h + H} = vt - \dfrac{hL\cdot\dfrac{vt}{L}}{h + H} = v\dfrac{H}{h + H}t,\] \[y_B = l_1\sin\beta = \dfrac{hL}{h + H}.\] Из этих формул следует, что блик не смещается в направлении, перпендикулярном берегам. Таким образом, скорость движения блика направлена параллельно берегам канала и по величине равна \[u = v\dfrac{H}{h + H}.\] Другой способ решения задачи основывается на рассмотрении подобных треугольников и позволяет обойтись без тригонометрии. Действительно, треугольники \(AA_1B\) и \(CC_1B\) подобны. Поэтому \[\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{H}{h}.\] Отсюда следует, что \[\dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BC}{AB + BC} = \dfrac{H}{h + H}.\] Проведём через точку \(B\) на рисунке 1 прямую, параллельную берегам канала; она пересечёт перпендикуляр \(CO\) в точке \(B_1\). Из подобия треугольников \(CBB_1\) и \(CAO\) получаем \[\dfrac{B_1C}{OC} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{H}{h + H},\] то есть отношение \(B_1C : OC\) есть постоянная величина. Это означает, что точка \(B_1\) не меняет своего положения со временем. Таким образом, блик движется по прямой, проходящей через точку \(B_1\) параллельно берегам. Найдём его скорость. Длины отрезков \(B_1B\) и \(OA\) равны \(ut\) и \(vt\) соответственно. Из подобия треугольников \(CBB_1\) и \(CAO\) следует отношение: \[\dfrac{B_1B}{OA} = \dfrac{ut}{vt} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{H}{h + H},\] из которого получается прежнее выражение для скорости блика.