Качающийся стол

Нарисуем вид стола сбоку в плоскости, проходящей через короткую и противоположную ей длинную ножки стола (см. рисунок).

Обозначим короткую ножку стола через \(AA'\), противоположную ей длинную ножку — \(DD'\), середину столешницы — \(O\). Пусть также \(OO'\) — прямая, проходящая через точку \(O\) параллельно ножкам и пересекающая пол в точке \(O'\); \(A'E\) и \(OF\) — перпендикуляры, опущенные из точек \(A'\) и \(O\) на отрезки \(OO'\) и \(A'O'\) соответственно. Опустим перпендикуляр из точки \(D\) на пол и обозначим точку его пересечения с полом через \(I'\). Проведём также через точку \(O\) прямую, параллельную полу, и обозначим точки её пересечения с отрезками \(DI'\) и \(DD'\) через \(I\) и \(G\) соответственно. Из условия задачи и из чертежа следует, что \[OD = L/\sqrt{2},\quad OO' = H,\quad O'E = a,\quad OG = O'A'.\] Из того, что стол, поставленный на три длинные ножки, стоит устойчиво, следует, что его центр масс находится в центре столешницы, то есть в точке \(O\). Известно также, что для того, чтобы перекосившийся стол выровнялся, на его угол \(D\) нужно положить груз, не меньший \(m\). Отсюда получаем уравнение моментов: \[Mg\cdot O'F = mg\cdot O'I',\] где \(M\) — масса крышки стола. Данное уравнение записано относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку \(O'\). Осталось найти из чертежа отрезки \(O'F\) и \(O'I'\).

Рассмотрим треугольники \(O'EA'\) и \(O'FO\). Они подобны. Поэтому \(\dfrac{O'F}{OO'} = \dfrac{O'E}{O'A'}\). Отсюда \[O'F = \dfrac{O'E\cdot OO'}{O'A'} = \dfrac{aH}{\sqrt{(L^2/2) + a^2}}.\] Треугольники \(DOG\) и \(IOD\) также подобны. Поэтому \(\dfrac{OG}{OD} = \dfrac{OD}{OI}\). Отсюда, с учётом того, что \(OG = O'A' = \sqrt{(L^2/2) + a^2}\), получаем: \[OI = \dfrac{(OD)^2}{OG} = \dfrac{L^2}{2\sqrt{(L^2/2) + a^2}} = FI'.\] Наконец, из чертежа видно, что \[O'I' = FI' - O'F = \dfrac{1}{\sqrt{(L^2/2) + a^2}}\left(\dfrac{L^2}{2} - aH\right).\] Подставляя найденные выражения для \(O'F\) и \(O'I'\) в уравнение моментов, найдём массу крышки стола: \[M = m\dfrac{O'I'}{O'F} = m\left(\dfrac{L^2}{2aH} - 1\right) = 4{,}7\text{ кг}.\] Ответ также можно получить и приближённо, пренебрегая во всех формулах величиной \(a^2\) по сравнению с \(L^2/2\) и считая, что \(O'I' \approx L/\sqrt{2}\), а \(O'F \approx \sqrt{2}\,aH/L\) (это можно делать, так как угол, на который наклоняется стол, мал). Тогда для массы крышки стола получится: \(M \approx mL^2/(2aH) = 5\) кг.