Кабестан

Пусть \(r\) — радиус бревна кабестана, \(R\) — расстояние от оси старого кабестана до концов его ручек, \(M\) — масса нового якоря, \(V_{\text{я}}\) — его объём. Из условия известно, что якорная команда, пользуясь старым воротом, поднимает новый якорь только до уровня воды. Значит, в этом положении момент силы \(F\), с которой матросы действуют на концы ручек ворота, равен моменту силы натяжения цепи, которая, в свою очередь, равна сумме сил тяжести и Архимеда, действующих на якорь. Запишем уравнение моментов: \[RF = r(Mg - \rho_{\text{в}}gV_{\text{я}}) = r\left(Mg - \dfrac{\rho_{\text{в}}gM}{\rho_{\text{я}}}\right) = Mgr\left(1 - \dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{я}}}\right).\] Здесь \(\rho_{\text{в}}\) и \(\rho_{\text{я}}\) — плотности воды и якоря соответственно.

После удлинения ручек кабестана матросы, прикладывая прежнюю силу \(F\), могут полностью вытащить якорь из воды. Это означает, что для нового ворота при полностью поднятом якоре справедливо уравнение моментов \[R_1F = Mgr,\] где \(R_1\) — длина новых ручек ворота. Из полученных уравнений легко найти отношение длин ручек нового и старого кабестанов: \[k = \dfrac{R_1}{R} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{я}}}} = \dfrac{8}{7} \approx 1{,}14\text{ раза}.\]