Задачи › Рычаги и простые механизмы

Ледяной рычаг

  1. Ледяной рычаг

    Санкт-Петербургская 2013/14, 9 кл.
    7/10

    На краю ледяного рычага стоит эквилибрист массы \(m\) (см. рис.). Рычаг находится в равновесии, длина плеча рычага со стороны эквилибриста составляет \(x_0\). Клоун начинает плавить феном другой конец рычага. Тепловая мощность фена \(P\). Чтобы рычаг оставался в положении равновесия, эквилибрист вынужден перемещаться вдоль него. Найдите зависимость координаты эквилибриста от времени. Температура льда \(0^\circ\) C, удельная теплота плавления льда \(\lambda\), плотность льда \(\rho\). Считать, что в любой момент времени рычаг по всей длине в поперечном сечении представляет собой квадрат со стороной \(a\). Тепловые потери малы. Размерами эквилибриста пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите правило рычага для начального и текущего положения; плавление уменьшает длину правого плеча на \(\Delta y = P\Delta t/(\lambda\rho a^2)\).

    Ответ

    \(x(t) = \dfrac{\rho a^2}{2m}\,y(t)^2 - \dfrac{\rho a^2 x_0^2}{2m}\), где \(y(t) = \sqrt{\dfrac{2mx_0 + \rho a^2 x_0^2}{\rho a^2}} - \dfrac{Pt}{\lambda\rho a^2}\).

    Решение

    В начальный момент рычаг в равновесии, поэтому по правилу рычага (сила тяжести рычага приложена к центру масс его плеча): \[m x_0 + \rho a^2 x_0 \cdot \frac{x_0}{2} = \rho a^2 \frac{y_0^2}{2}, \qquad y_0 = \sqrt{\frac{2mx_0 + \rho a^2 x_0^2}{\rho a^2}},\] где \(y_0\) — длина плеча клоуна.

    За время \(\Delta t\) фен передаёт льду теплоту \(P\Delta t\), которая идёт на плавление (температура льда \(0^\circ\) C): \(P\Delta t = \lambda\rho a^2\Delta y\), поэтому длина плеча клоуна \(y(t) = y_0 - \dfrac{Pt}{\lambda\rho a^2}\).

    Для текущего момента правило рычага даёт \[m x + \rho a^2 \frac{x_0^2}{2} = \rho a^2 \frac{y^2}{2},\] откуда и получается ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх