Гонка единорогов

Выразите пройденный путь через момент применения силы \(t_0\) и найдите его максимум.

Пусть Фрося использовал свою силу в момент времени \(t_0\); тогда его скорость в этот момент \(v_0 = a t_0\). К финишу в момент \(t_1 = 60\) с Фрося подойдёт со скоростью \(v_1 = 2v_0 + a(t_1 - t_0)\). График \(v(t)\) состоит из трёх частей, путь равен площади под графиком: \[S = S_1 + S_2 + S_3 = \tfrac{1}{2} v_0 t_0 + 2v_0(t_1 - t_0) + \tfrac{1}{2}(v_1 - 2v_0)(t_1 - t_0),\] что после подстановки \(v_1\) даёт \[S = 2v_0 t_1 - \tfrac{3}{2} v_0 t_0 + \tfrac{1}{2} a (t_1 - t_0)^2 .\] С \(v_0 = a t_0 = 1 \cdot t_0\) и \(t_1 = 60\) с получаем квадратичную функцию \[S = 1800 + 60 t_0 - t_0^2 ,\] максимум которой находится в вершине параболы: \(t_0 = 30\) с.