Призмы в жидкости

Силы давления на наклонные грани уравновешиваются; разность давлений на высоте призмы равна \(g\), умноженному на площадь под графиком \(\rho(h)\) на отрезке \([h_0, h_0 + a]\).

На призмы действуют сила Архимеда, сила тяжести и силы давления на наклонные грани. Для обеих призм (одинаковой формы, на одинаковой глубине) сила давления на наклонную грань одна и та же, поэтому из уравнений вертикального равновесия (проекции на ось \(Oy\)) после сложения получаем \[4a^2\,\frac{p_1 - p_0}{g} - m = m',\] где \(p_0\) — давление на глубине \(h_0\), \(p_1\) — давление на глубине \(h_0 + a\).

Перепад давления равен \(g\), умноженному на площадь под графиком плотности на отрезке \([h_0, h_0 + a]\): \(p_1 - p_0 = g S\). Тогда \[m' = 4a^2 S - m.\] Площадь \(S\) находится по графику плотности.

В условии, к сожалению, есть ошибка: масса первой призмы 25 мегатонн слишком велика, такая призма утонет. Аккуратный расчёт силы Архимеда (масса вытесненной жидкости равна \(\int \rho(h)S(h)\,dh\), где \(S(h)\) — площадь сечения призмы на глубине \(h\)) даёт массу первой призмы около \(21{,}4\) Мт, и тогда \(m' \approx 18{,}9\) Мт. С массой 25 Мт из условия получается \(m' \approx 16\) Мт.