Оценка сопротивления

Оцените сверху и снизу, заменив \(R_5\) на бесконечность и на нуль; при этом используйте монотонность сопротивления цепи по каждому резистору.

Если в цепи увеличить (уменьшить) сопротивление одного резистора, общее сопротивление цепи не уменьшится (не увеличится) — это теорема Рэлея о монотонности.

Уберём \(R_5\) (заменим на бесконечное сопротивление). Схема даёт \[R_{\max} = \frac{(R_1 + R_2)(R_3 + R_4)}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4} = \frac{15}{8}~\text{Ом}, \qquad R_{AB} \le R_{\max}.\] Заменим \(R_5\) проводом (сопротивление уменьшится до нуля). Точки \(C\) и \(D\) совпадут, и схема станет последовательным соединением двух параллельных блоков (\(R_1\) и \(R_3\); \(R_2\) и \(R_4\)): \[R_{\min} = \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3} + \frac{R_2 R_4}{R_2 + R_4} = \frac{28}{15}~\text{Ом}, \qquad R_{AB} \ge R_{\min}.\] Итак, \(\dfrac{28}{15}~\text{Ом} \le R_{AB} \le \dfrac{15}{8}~\text{Ом}\). Разность границ равна \(\tfrac{1}{120}\) Ом, что меньше \(0{,}01\) Ом.

Доказательство монотонности: ток течёт так, что тепловые потери \(Q = \sum_{ij} (\varphi_i - \varphi_j)^2 / R_{ij}\) минимальны; минимум \(Q_{\min} = U^2/R\) по определению, и при увеличении любого \(R_{ij}\) минимум \(Q\) не возрастает, откуда \(R' \ge R\).