Робот на астероиде

Сила тяжести и реакция опоры направлены к центру астероида, поэтому для движения по малой окружности нужна сила трения; предельный случай соответствует \(F_{\text{тр}} = \mu N\).

Радиус окружности \(r = R\sin\alpha = R/s\), откуда \(\sin\alpha = 1/s\), \(\cos\alpha = \sqrt{s^2 - 1}/s\). Сила тяготения \(F_g = GmM/R^2\) и сила реакции опоры \(N\) направлены по линии к центру астероида, и их сумма не может дать центростремительную силу; поэтому нужна сила трения \(F_{\text{тр}}\).

Проекции второго закона Ньютона на оси (ось \(Ox\) горизонтально к центру окружности, \(Oy\) вдоль нормали к поверхности): \[F_{\text{тр}} \sin\alpha + N\cos\alpha = F_g\cos\alpha,\] \[F_g \sin\alpha + F_{\text{тр}}\cos\alpha - N\sin\alpha = \frac{mV^2}{r}.\] Предельный случай \(F_{\text{тр}} = \mu N\) даёт \[N = \frac{F_g\cos\alpha}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha},\] и после подстановки \(r = R\sin\alpha\) во второе уравнение получаем \[\frac{\mu F_g}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} = \frac{mV^2}{R\sin\alpha}.\] Подставляя \(F_g = GMm/R^2\), находим \[V = \sqrt{\frac{GM\mu}{R\left(\sqrt{s^2 - 1} + \mu\right)}}.\]