Взвешивание на коромысле

Для решения задачи воспользуемся правилом рычага. При взвешивании груза неизвестной массы \(m\) на плечи коромысла длины \(L\) действуют силы \(mg\), \(Mg\) и \(m_{\text{к}}g\), где \(m_{\text{к}}\) — масса коромысла (см. рисунок).

Плечи этих сил относительно оси, проходящей через точку опоры перпендикулярно плоскости рисунка, равны \((0{,}5 + x)L\), \((0{,}5 - x)L\) и \(xL\) соответственно. Условие равновесия рычага имеет вид: \[mg(0{,}5 + x)L + m_{\text{к}}gxL = Mg(0{,}5 - x)L,\] откуда \[m = \dfrac{M(0{,}5 - x) - m_{\text{к}}x}{0{,}5 + x}.\] Рассмотрим теперь второе взвешивание (без груза неизвестной массы), которое позволит нам найти массу коромысла. Плечи сил \(Mg\) и \(m_{\text{к}}g\) будут теперь равны \((0{,}5 - y)L\) и \(yL\) соответственно. Тогда условие равновесия рычага даёт: \[m_{\text{к}}gyL = Mg(0{,}5 - y)L,\] откуда \[m_{\text{к}} = \dfrac{M(0{,}5 - y)}{y}.\] Следовательно, \[m = \dfrac{M(0{,}5 - x) - \dfrac{M(0{,}5 - y)}{y}\cdot x}{0{,}5 + x} = M\dfrac{y - x}{y(1 + 2x)} = M\dfrac{(1/3) - (1/4)}{(1/3)\left(1 + 2\cdot(1/4)\right)} = \dfrac{M}{6}.\]