Рычаги на рычаге

Равновесие нижнего рычага возможно между двумя крайними положениями, когда он вот-вот опрокинется вокруг одного из краёв опорного кубика; в каждом крайнем случае берите предельные значения масс верхних грузов.

Равновесие возможно при \(m \in \left[\dfrac{4}{25}M;\ \dfrac{5}{3}M\right] \approx [6{,}4;\ 66{,}7]\) г; целых значений — 60.

Для записи условий равновесия необходимо найти точки приложения сил реакции опоры, действующих со стороны кубиков на опирающиеся на них рычаги. Равновесие возможно при условии \(m_{\min} \leqslant m \leqslant m_{\max}\) (граничные значения ещё предстоит найти), причём в случае \(m = m_{\min}\) нижний рычаг балансирует, опираясь на точку \(A\), а при \(m = m_{\max}\) — на точку \(B\) (см. рисунок).

Пусть \(L\) — расстояние между соседними метками на рычагах, тогда условие равновесия нижнего рычага в случае \(m = m_{\min}\) (уравнение моментов относительно полюса \(A\)) имеет вид \[Mg\cdot 3L = m_2g\cdot L + m_1g\cdot 4L + m_{\min}g\cdot 8L, \tag{1}\] откуда после упрощения получаем выражение \[m_{\min} = \dfrac{3M - m_2 - 4m_1}{8}. \tag{2}\] Примечание. Обратите внимание, что знак момента силы (сторона равенства (1), где он записан) зависит от того, с какой стороны от полюса \(A\) проходит линия действия силы, но не зависит от того, к какому из верхних рычагов прикреплён груз. Например, момент силы \(m_1g\) записан в правой части равенства, хотя груз \(m_1\) прикреплён к рычагу, опирающемуся на левый кубик.

Выражение (2) показывает, что для достижения минимально возможного значения \(m_{\min}\) нужно взять максимальные \(m_1\) и \(m_2\). При максимальном значении \(m_1\) левый верхний рычаг будет балансировать, опираясь на точку \(D\), поэтому его условие равновесия будет иметь вид \[Mg\cdot 2L = m_1g\cdot 5L,\qquad\text{откуда}\qquad m_1 = \dfrac{2}{5}M. \tag{3}\] При максимальном значении \(m_2\) правый верхний рычаг будет балансировать, опираясь на точку \(E\), поэтому его условие равновесия будет иметь вид \[m_2g\cdot 4L = m_{\min}g\cdot 3L,\qquad\text{откуда}\qquad m_2 = \dfrac{3}{4}m_{\min}. \tag{4}\] После подстановки формул (3) и (4) в выражение (2) получаем уравнение, из которого находим искомую нижнюю границу: \[m_{\min} = \dfrac{4}{25}M.\] Условие равновесия нижнего рычага в случае \(m = m_{\max}\) (уравнение моментов относительно полюса \(B\)) имеет вид \[Mg\cdot 6L + m_2g\cdot 2L = m_1g\cdot L + m_{\max}g\cdot 5L,\] откуда после упрощения получаем выражение \[m_{\max} = \dfrac{6M + 2m_2 - m_1}{5}. \tag{5}\] Это выражение показывает, что для достижения максимально возможного значения \(m_{\max}\) нужно взять минимальное \(m_1\) и максимальное \(m_2\). При минимальном значении \(m_1\) левый верхний рычаг будет балансировать, опираясь на точку \(C\), поэтому его условие равновесия будет иметь вид \[Mg\cdot L = m_1g\cdot 6L,\qquad\text{откуда}\qquad m_1 = \dfrac{1}{6}M. \tag{6}\] При максимальном значении \(m_2\) правый верхний рычаг будет балансировать, опираясь на точку \(E\), поэтому его условие равновесия будет иметь вид \[m_2g\cdot 4L = m_{\max}g\cdot 3L,\qquad\text{откуда}\qquad m_2 = \dfrac{3}{4}m_{\max}. \tag{7}\] Примечание. Любопытно, что формулы (4) и (7) по сути совпадают, хотя аналогичные им формулы (3) и (6) различаются. Различие кажется естественным, так как в одном случае мы ищем минимум, а в другом — максимум, то есть в одном случае система почти падает влево, а в другом — вправо, но вот совпадение настораживает. Сомнения рассеются, если заметить, что линия действия силы \(m_2g\) проходит между точками \(A\) и \(B\), то есть вместе с изменением направления <<почти падения>> меняется знак момента силы \(m_2g\), так что два изменения знака нейтрализуют друг друга.

После подстановки формул (6) и (7) в выражение (5) получаем уравнение, из которого находим искомую верхнюю границу: \[m_{\max} = \dfrac{5}{3}M.\] Таким образом, равновесие возможно при условии \[m \in [m_{\min};\, m_{\max}] = \left[\dfrac{4}{25}M;\ \dfrac{5}{3}M\right] \approx [6{,}4;\ 66{,}7]\text{ г}.\] Ни одна из границ диапазона не равна целому числу граммов, поэтому нет повода для сомнений, учитывать ли граничное значение. В диапазоне от 6,4 до 66,7 лежат целые числа от 7 до 66 включительно, количество которых равно 60, что и является окончательным ответом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.