Осцилляторы

Рассмотрите сразу общий случай угла \(\varphi\): найдите зависимость кинетической энергии от времени полёта и усредните её за четверть периода.

1) \(k_1 = \dfrac{1}{3}\);  2) \(k_2 = \dfrac{2}{3}\);  3) \(\varphi = 30^\circ\).

Чтобы ответить сразу на все три вопроса задачи, рассмотрим параболический осциллятор Шпунтика в общем случае (с произвольным углом \(\varphi\)). Шарик движется туда-сюда по одной и той же параболе, значит, по закону отражения при каждом ударе шарик падает и отскакивает вдоль перпендикуляра к опоре, то есть в этот момент его скорость направлена под углом \(\varphi\) к вертикали.

Пусть \(m\) — масса шарика, \(v_0\) — его начальная скорость (сразу после удара об опору), тогда полная энергия \(W_0\) и кинетическая энергия \(E(t)\) в зависимости от времени \(t\) полёта шарика (до очередного удара) имеют вид: \[W_0 = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}} = \dfrac{mv_0^2}{2} + 0 = \dfrac{mv_0^2}{2},\] \[E(t) = \dfrac{m}{2}\left((v_0\sin\varphi)^2 + (v_0\cos\varphi - gt)^2\right) = \dfrac{m}{2}\left(v_0^2 - 2gtv_0\cos\varphi + g^2t^2\right).\] Кинетическая энергия не зависит от направления скорости, поэтому средняя кинетическая энергия \(E_0\) будет одинаковой при усреднении за весь период \(T\), за его половину и даже за его четверть — время движения от нижней до верхней точки траектории, которое найти проще всего: \[\tau = \dfrac{T}{4} = \dfrac{v_0\cos\varphi}{g}.\] Усредним кинетическую энергию за это время: \[E_0 = \dfrac{1}{\tau}\int\limits_0^\tau E(t)\,dt = \dfrac{m}{2}\left(v_0^2 - g\tau v_0\cos\varphi + \dfrac{1}{3}g^2\tau^2\right) = \dfrac{mv_0^2}{2}\left(1 - \dfrac{2}{3}\cos^2\varphi\right).\] Примечание. Если подставить \(\tau = T/2 = 2v_0\cos\varphi/g\), то получится тот же результат, но вот подстановка \(\tau = T = 4v_0\cos\varphi/g\) приведёт к ошибке, так как использованная зависимость \(E(t)\) не учитывает изменение вектора скорости в момент удара и потому верна только при \(0 \leqslant t \leqslant T/2\).

Выразим искомое отношение энергий: \[k(\varphi) = \dfrac{E_0}{W_0} = 1 - \dfrac{2}{3}\cos^2\varphi.\] Примечание. Всегда полезно проверять результаты на здравый смысл и очевидные частные случаи: выражение для \(k(\varphi)\) при любых углах даёт разумные значения (положительные и не больше единицы), причём \(k \approx 1\) логичным образом достигается при очень быстрых колебаниях между почти вертикальными стенками.

1. Вертикальный осциллятор Винтика — это параболический осциллятор Шпунтика при \(\varphi = 0\), поэтому первый ответ получаем подстановкой: \[k_1 = k(0) = \dfrac{1}{3}.\] 2. Аналогичная подстановка даёт второй ответ: \[k_2 = k(45^\circ) = \dfrac{2}{3}.\] 3. Если средние кинетическая и потенциальная энергии одинаковы, то каждая из них составляет половину от полной энергии, поэтому из уравнения \[k(\varphi) = \dfrac{1}{2}\] получаем третий ответ: \(\varphi = 30^\circ\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.