Проволочный многоугольник

Все вершины, кроме двух выбранных, равноправны, поэтому имеют одинаковые потенциалы, и резисторы между ними можно выбросить.

\(R_0 = \dfrac{2R}{N} = \dfrac{R}{1010} \approx 49{,}5\) мОм.

Все стороны и все диагонали многоугольника вместе образуют систему отрезков, соединяющих каждую пару вершин, то есть вместо 2020-угольника можно рассматривать систему из \(N = 2020\) точек, любые две из которых соединены резистором сопротивлением \(R\). Среди этих точек есть две особенные — это точки \(A_1\) и \(A_2\), между которыми измеряется сопротивление, а все остальные точки (\(A_3\), \(A_4\), …, \(A_{2020}\)) эквивалентны друг другу, так как каждая из них подходит под одно и то же описание: она соединена резисторами сопротивлением \(R\) с двумя особенными точками и с \((N - 3)\) остальными точками (заметим, что особенные точки под это описание не подходят, так как каждая из них соединена резистором лишь с одной особенной точкой, а не с двумя).

Эта логическая симметрия означает, что все не особенные точки будут иметь равные потенциалы, а значит, через резисторы, соединяющие эти точки, ток течь не будет и эти резисторы можно просто выкинуть. На эквивалентной схеме (см. рисунок) отсутствуют отрезки между всеми не особенными точками, а каждый отрезок с обозначенными концами имеет сопротивление \(R\).

Особенные точки \(A_1\) и \(A_2\) соединены между собой одним путём сопротивлением \(R\) и \((N - 2)\) путями сопротивлением \(2R\) каждый, поэтому искомое общее сопротивление найдём по свойствам параллельного соединения резисторов: \[R_0 = \dfrac{1}{\dfrac{N - 2}{2R} + \dfrac{1}{R}} = \dfrac{2R}{N} = \dfrac{R}{1010} \approx 49{,}5\text{ мОм}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.