Заряд около конденсатора

Индуцированный на ближней поверхности заряд \(-q\) вместе с самим зарядом \(q\) можно исключить из рассмотрения; для силы используйте метод изображений.

1) \(U = \dfrac{q}{2C}\);  2) \(F = q^2\left(\dfrac{k}{4a^2} - \dfrac{1}{2Cd}\right)\), сила направлена от конденсатора.

Главное свойство проводников в электростатике: заряды распределяются по поверхности проводника так, чтобы поле в его толще отсутствовало.

При приближении точечного заряда \(q\) к правой пластине конденсатора (см. рисунок) на её наружной поверхности индуцируется неравномерно распределённый заряд \(-q\), который в области слева от этой поверхности полностью компенсирует поле точечного заряда. Поэтому точечный заряд \(q\) и этот неравномерно распределённый заряд \(-q\) можно исключить из рассмотрения.

После устранения индуцированного заряда \(-q\) правая пластина станет заряжена зарядом \(+q\), который распределится равномерно: по \(+q/2\) на внутренней и наружной поверхностях, чтобы не возникло поле в толще правой пластины.

Левая пластина остаётся незаряженной, но на ней должно произойти перераспределение заряда, чтобы компенсировать внутри неё внешнее поле, создаваемое суммарным зарядом \(+q\) на правой пластине, поэтому на левой пластине индуцируются заряды \(+q/2\) и \(-q/2\) соответственно на наружной и внутренней поверхностях (см. рисунок).

Заряды \(+q/2\) на наружных поверхностях пластин не создают поле в области конденсатора, поэтому эти два заряда можно исключить из рассмотрения.

Таким образом, остались только заряды \(-q/2\) и \(+q/2\) на внутренних поверхностях пластин, то есть конденсатор заряжен зарядом \(q/2\) до напряжения \[U = \dfrac{q}{2C}.\] Чтобы найти силу \(F\), воспользуемся методом изображений: индуцированный на наружной поверхности правой обкладки неравномерно распределённый заряд \(-q\) создаёт в области справа от этой поверхности такое же поле, какое создавал бы точечный заряд \(-q\), расположенный симметрично точечному заряду \(q\) относительно наружной обкладки правой пластины.

По закону Кулона находим направленную влево силу притяжения, действующую на точечный заряд со стороны индуцированного заряда \(-q\): \[F_1 = \dfrac{kq^2}{(2a)^2}.\] Равномерно распределённый по правой пластине суммарный заряд \(+q\) отталкивает точечный заряд вправо с силой \[F_2 = \dfrac{q}{2\varepsilon_0S}\cdot q = \dfrac{q^2}{2Cd},\] где для нахождения площади \(S\) пластин была использована формула ёмкости плоского конденсатора \(C = \varepsilon_0S/d\).

Левая пластина не создаёт поле вне себя, поэтому искомая внешняя сила должна противодействовать лишь векторной сумме \(F_1\) и \(F_2\): \[F = F_1 - F_2 = q^2\left(\dfrac{k}{4a^2} - \dfrac{1}{2Cd}\right).\] В рамках использованной модели \(S \gg a^2\), то есть \(F_1 \gg F_2\), а потому сила \(F\) направлена от конденсатора.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.