Прыгучая кошка

Найдите минимальную начальную скорость прыжка на данное расстояние и данную разность высот: запишите квадрат скорости через время полёта и найдите его минимум.

1) \(R = \dfrac{v_1^2 + v_2^2}{2g}\),  \(H = \dfrac{|v_1^2 - v_2^2|}{2g}\);  2) \(E_{\min} = \dfrac{mg}{2}(L + \Delta H)\).

Введём систему координат с началом в полке \(A\), ось \(y\) направим вверх, а ось \(x\) — вдоль проекции радиус-вектора полки \(B\) на горизонтальную плоскость. Пусть \(v_0\) — начальная скорость кошки, прыгающей с полки \(A\) на полку \(B\), \(t\) — время полёта кошки, тогда для координат \(x\) и \(y\) полки \(B\) можно записать уравнения \[x = v_{0x}t,\qquad y = v_{0y}t - \dfrac{gt^2}{2},\] откуда выражаем проекции начальной скорости: \[v_{0x} = \dfrac{x}{t},\qquad v_{0y} = \dfrac{y}{t} + \dfrac{gt}{2}.\] Используя теорему Пифагора для скоростей (\(v_0^2 = v_{0x}^2 + v_{0y}^2\)) и для координат (\(R^2 = x^2 + y^2\)), получим выражение \[v_0^2 = v_{0x}^2 + v_{0y}^2 = \dfrac{x^2 + y^2}{t^2} + gy + \dfrac{g^2t^2}{4} = gy + \dfrac{gR}{2}\left(\dfrac{2R}{gt^2} + \dfrac{gt^2}{2R}\right).\] Известно, что сумма двух положительных обратных друг другу величин достигает минимального значения, равного 2, когда каждая из величин равна 1, что можно доказать через производную или через выделение полного квадрата: \[f(z) = z + \dfrac{1}{z} = \left(\sqrt{z} - \dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2 + 2.\] Таким образом, для минимальной начальной скорости справедлива формула \[v_{0\min}^2 = gy + \dfrac{gR}{2}\cdot 2 = g(R + y). \tag{1}\] 1. Применяя полученный общий результат к двум прыжкам кошки из первого пункта задачи, получаем уравнения \[v_1^2 = g(R + y),\qquad v_2^2 = g(R - y),\qquad H = |y|,\] из которых находим искомые величины: \[R = \dfrac{v_1^2 + v_2^2}{2g},\qquad H = \dfrac{|v_1^2 - v_2^2|}{2g}.\] 2. С помощью формулы (1) найдём минимальную энергию, необходимую кошке на первый прыжок: \[E_{1\min} = \dfrac{mv_{1\min}^2}{2} = \dfrac{mg}{2}(L_1 + \Delta H_1),\] где \(L_1\) и \(\Delta H_1\) — расстояние и разность высот между полками \(A_1\) и \(A_2\). Суммируя аналогичные выражения для всех прыжков, получаем ответ: \[E_{\min} = \dfrac{mg}{2}(L + \Delta H).\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.