Переменный накал

В первые периоды нить холодная, и сопротивление равно значению при малых напряжениях; в установившемся режиме нить нагрета так же, как при постоянном напряжении, равном действующему значению.

\(\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{U_0}{2b\sqrt{2}}\left(\sqrt{\dfrac{U_0}{b\sqrt{2}} + 1} - 1\right)^{-1} \approx 1{,}767\).

За несколько первых колебаний нить накаливания лампы не успеет нагреться, поэтому её сопротивление будет таким же, как и при малых постоянных напряжениях. Выразим это сопротивление по закону Ома: \[R_0 = \dfrac{\Delta U}{\Delta I},\] где \(\Delta U\) и \(\Delta I\) — малое напряжение и соответствующая ему малая сила тока, связь между которыми найдём через производную ВАХ лампы при неотрицательных подмодульных выражениях: \[R_0 = \dfrac{dU}{dI} = \dfrac{1}{\dfrac{dI}{dU}} = \dfrac{1}{I'(U)} = \dfrac{2b}{a}\sqrt{\dfrac{U}{b} + 1} = \dfrac{2b}{a},\] где на последнем шаге была выполнена подстановка \(U = 0\), так как искомое сопротивление \(R_0\) наблюдается при малых напряжениях. По закону Ома находим амплитуду колебаний силы тока в ходе нескольких первых периодов: \[I_1 = \dfrac{U_0}{R_0} = \dfrac{aU_0}{2b}. \tag{1}\] Через продолжительное время нить накаливания лампы достигнет равновесной температуры, которую она имела бы при подключении лампы к источнику постоянного напряжения, равного действующему значению переменного напряжения, то есть в установившемся режиме формула для ВАХ будет связывать между собой действующие значения силы тока и напряжения: \[I_{\text{дей}} = a\left(\sqrt{\dfrac{U_{\text{дей}}}{b} + 1} - 1\right). \tag{2}\] Обозначим через \(I_2\) амплитуду колебаний силы тока через большое время и запишем формулы для действующих значений силы тока и напряжения, справедливые для случая синусоидальной зависимости от времени: \[I_{\text{дей}} = \dfrac{I_2}{\sqrt{2}},\qquad U_{\text{дей}} = \dfrac{U_0}{\sqrt{2}}. \tag{3}\] Из формул (2) и (3) получаем выражение \[I_2 = a\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{U_0}{b\sqrt{2}} + 1} - 1\right). \tag{4}\] Вспоминая про формулу (1), находим окончательный ответ: \[\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{U_0}{2b\sqrt{2}}\left(\sqrt{\dfrac{U_0}{b\sqrt{2}} + 1} - 1\right)^{-1} \approx 1{,}767.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.