Задачи › Относительность движения, сложение скоростей

Мимо букашки

  1. Мимо букашки

    «Туймаада» 2020/21, заключительный этап, 11 кл. · №25671
    6/10PDF: условиес решением

    Массивная гладкая плита летит в вакууме вдали от звёзд и планет со скоростью \(v\), направленной под углом \(\varphi = 30^\circ\) к перпендикуляру к плите (см. рисунок). По плите ползёт букашка в скафандре \(B\) со скоростью \(v\) относительно плиты. Лёгкий упругий шарик \(A\) летит со скоростью \(v_0 = v\sqrt{3}\) вдоль перпендикуляра к плите. В некоторый момент времени шарик был на расстоянии \(L\sqrt{3}\) от плиты, а букашка — на расстоянии \(2L\) от основания перпендикуляра, опущенного к плите из положения шарика. Скорости всех трёх тел и отрезок \(AB\) лежат в плоскости рисунка. На каком минимальном расстоянии \(S\) пролетит шарик от букашки в скафандре?

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Перейдите в систему отсчёта букашки: плита неподвижна вдоль своей поверхности, а удар шарика о гладкую плиту подчиняется закону отражения.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(S = \dfrac{\sqrt{3}}{2}L \approx 0{,}866L\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    В системе отсчёта букашки шарик будет иметь следующие составляющие вектора скорости (см. рисунок): \[u_x = v_0 + v\cos\varphi = \dfrac{3}{2}v\sqrt{3},\qquad u_y = v + v\sin\varphi = \dfrac{3}{2}v.\] Скорость плиты направлена вдоль её поверхности, но из-за отсутствия трения это никак не влияет на отражение шарика при абсолютно упругом ударе.

    Искомое минимальное расстояние \(S\) — это длина перпендикуляра \(BE\) к лучу \(DE\), вдоль которого летит шарик после отскока от плиты в точке \(D\).

    Рисунок

    Из закона отражения и рассмотрения прямоугольных треугольников \(ADC\) и \(BDE\) следует равенство углов \(\angle DAC = \angle DBE\), которое позволяет получить ответ: \[S = BD\cdot\cos\angle DBE = (CB - CD)\cdot\cos\angle DAC = (CB - CA\cdot\operatorname{tg}\angle DAC)\cdot\cos\angle DAC =\] \[= \left(2L - L\sqrt{3}\cdot\dfrac{u_y}{u_x}\right)\cdot\dfrac{u_x}{\sqrt{u_x^2 + u_y^2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}L \approx 0{,}866L.\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх