Два клина

Пока шарик на клине, сохраняются горизонтальный импульс и энергия системы; на наибольшей высоте шарик покоится относительно клина.

\(h = \dfrac{m_1m_2H}{(m + m_1)(m + m_2)}\);  \(v_2 = \dfrac{2m}{m + m_2}\sqrt{\dfrac{2m_1gH}{m + m_1}}\).

Пусть \(u_1\) и \(v_0\) — скорости соответственно клина \(m_1\) и шарика сразу после его соскальзывания, тогда законы сохранения импульса и энергии имеют вид \[m_1u_1 = mv_0,\] \[mgH = \dfrac{m_1u_1^2}{2} + \dfrac{mv_0^2}{2},\] откуда получаем выражение \[v_0 = \sqrt{\dfrac{2m_1gH}{m + m_1}}.\] 1. Когда шарик достигнет наивысшей точки на клине \(m_2\), он остановится относительно клина, поэтому из закона сохранения импульса выразим общую скорость \(v_1\) клина и шарика: \[v_1 = \dfrac{mv_0}{m + m_2}.\] Из закона сохранения энергии \[\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{(m + m_2)v_1^2}{2} + mgh\] найдём искомую высоту: \[h = \dfrac{m_2v_0^2}{2(m + m_2)g} = \dfrac{m_1m_2H}{(m + m_1)(m + m_2)}.\] Примечание. Если записать последнее выражение в виде \[h = \dfrac{m_1}{m + m_1}\cdot\dfrac{m_2}{m + m_2}\cdot H,\] то становится видно, что первая дробь — это КПД преобразования потенциальной энергии шарика в кинетическую при съезде с первого клина, а вторая дробь — это КПД преобразования кинетической энергии шарика в потенциальную при заезде на второй клин. Предлагаем читателям самостоятельно подумать о применимости этой идеи при решении задачи, в которой первый клин оставляли бы на плоскости, допуская тем самым неоднократные взаимодействия шарика с клиньями.

2. Клин \(m_2\) будет иметь максимальную скорость, когда шарик соскользнёт с него. Пусть \(u_2\) — направленная от клина \(m_2\) скорость шарика после соскальзывания с клина, тогда законы сохранения импульса и энергии имеют вид \[mv_0 = -mu_2 + m_2v_2,\] \[\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{mu_2^2}{2} + \dfrac{m_2v_2^2}{2},\] откуда находим искомую скорость: \[v_2 = \dfrac{2mv_0}{m + m_2} = \dfrac{2m}{m + m_2}\sqrt{\dfrac{2m_1gH}{m + m_1}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.