Раскатывание цилиндров под призмой

Достаточно рассмотреть один цилиндр и половину призмы, с которой он соприкасается. Условие раскатывания – равенство моментов сил трения относительно оси цилиндра, а условие отсутствия проскальзывания – отсутствие смещения точек контакта.

Вследствие симметрии системы относительно вертикальной плоскости, проходящей через вершину призмы параллельно оси цилиндра, нет смысла рассматривать всю систему в целом. Достаточно ограничиться одним цилиндром и той половиной призмы, с которой он взаимодействует.

На рисунке \(\vec f_{\text{тр}}\) и \(\vec N_1\) – силы трения и нормального давления, действующие на цилиндр со стороны клина, соответственно. Аналогичные силы, действующие со стороны цилиндра на клин, обозначены как \(\vec f'_{\text{тр}}\) и \(\vec N'_1\). По третьему закону Ньютона: \(\vec f_{\text{тр}} = -\vec f'_{\text{тр}}\), \(\vec N_1 = -\vec N'_1\). \(\vec F_{\text{тр}}\) и \(\vec N_2\) – силы, действующие со стороны поверхности на цилиндр. Систему координат выберем так, как показано на рисунке.

Условие раскатывания цилиндров означает, что момент сил, вращающих цилиндр против часовой стрелки, должен быть больше или равен моменту сил, вращающих его по часовой стрелке, т.е. \(f_{\text{тр}} \ge F_{\text{тр}}\). При выводе этого условия принято во внимание, что плечи каждой из сил \(\vec f_{\text{тр}}\) и \(\vec F_{\text{тр}}\) одинаковы и равны радиусу цилиндра. Моменты других, действующих на цилиндр сил, равны нулю, так как их направление проходит через ось цилиндра.

Условие отсутствия проскальзывания между призмой и цилиндрами означает, что для цилиндра: \[\vec N_1 + m\vec g + \vec N_2 + \vec F_{\text{тр}} + \vec f_{\text{тр}} = 0,\] для клина: \[\frac{M\vec g}{2} + \vec N'_1 + \vec f'_{\text{тр}} = 0.\] Проецируя эти уравнения на выбранные оси и принимая во внимание, что \(|\vec f_{\text{тр}}| = |\vec f'_{\text{тр}}| = f\) и \(|\vec N_1| = |\vec N'_1| = N_1\), получим систему уравнений: \[\begin{cases} N_1\cos\alpha - f\sin\alpha - F_{\text{тр}} = 0;\\ -N_1\sin\alpha - mg + N_2 - f\cos\alpha = 0;\\ -\dfrac{Mg}{2} + N_1\sin\alpha + f\cos\alpha = 0. \end{cases}\] Сложив второе и третье уравнение системы, найдем \(N_2 = \left(m + \dfrac{M}{2}\right) g\). При раскатывании призмы и цилиндров \(F_{\text{тр}} = \mu N_2\). Используя эту связь, исключим из первого и второго уравнений системы \(N_2\): \[N_1(\cos\alpha - \mu\sin\alpha) - f(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) - \mu mg = 0.\] Домножив это уравнение на \(\sin\alpha\), а третье уравнение системы на \((\cos\alpha - \mu\sin\alpha)\) и вычитая из одного из этих уравнений другое, получим \[f = \frac{Mg}{2}(\cos\alpha - \mu\sin\alpha) - \mu mg\sin\alpha.\] Воспользуемся условием раскатывания: \[g\left[\frac{M}{2}(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)\right] - \mu g\sin\alpha \ge \mu g\left(m + \frac{M}{2}\right).\] Отсюда \[\frac{M}{m} \ge \frac{2\mu(1+\sin\alpha)}{\cos\alpha - \mu(1+\sin\alpha)} = 55.\] Подстановка численных значений дает \(\dfrac{M}{m} \ge 55\). Данная ситуация может осуществиться лишь в том случае, если призма в месте ее соприкосновения с цилиндром не проскальзывает по цилиндру, т.е. если силой, вращающей цилиндр вокруг его оси, является сила трения покоя. Это условие можно записать, как \[f_{\text{тр}} \le \mu_0 N_1,\] где \(\mu_0\) – коэффициент трения скольжения между призмой и цилиндром. С другой стороны, как отмечалось, \(f \ge \mu N_2\). Следовательно, эта ситуация осуществляется, если \(\mu_0 \ge \mu\dfrac{N_2}{N_1}\). Отношение \(\dfrac{N_2}{N_1}\) можно определить из первого уравнения приведенной системы, если положить в нем \(f_{\text{тр}} = F_{\text{тр}} = \mu N_2\). Тогда \(\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{\cos\alpha}{\mu(1+\sin\alpha)}\) и \(\mu_0 \ge \dfrac{\cos\alpha}{1+\sin\alpha}\).