Время утечки воздуха из корабля

Считайте воздух идеальным газом. Число молекул, вылетающих за малое время через отверстие, пропорционально концентрации молекул, площади отверстия и средней скорости, а полное число молекул в корабле найдите из уравнения состояния.

При заданных условиях (\(p = 10^5\) Па) воздух можно считать идеальным газом, поэтому молекулы воздуха, удаленные от отверстия на расстояние не большее чем \(\langle V\rangle\Delta t\) (\(\langle V\rangle\) – средняя скорость молекул, под которой будем иметь ввиду близкую к ней среднеквадратическую скорость, \(\Delta t = \dfrac{1}{\nu}\), \(\nu\) – частота столкновений молекул), будут вылетать в отверстие, и столкновениями друг с другом можно пренебречь. При этом за время \(\Delta t\) из отверстия вылетят в среднем \[\Delta N = \frac{nS\langle V\rangle\Delta t}{6}\] молекул воздуха, т.е. те молекулы, которые находятся в объеме \(S\langle V\rangle\Delta t\) и движутся в направлении отверстия, \(n\) – концентрация молекул. Это – 1/6 часть (примерно) всех молекул, заключенных в объеме \(S\langle V\rangle\Delta t\).

Концентрацию молекул можно выразить через давление \(p\) и температуру \(T\) из уравнения состояния идеального газа \(p = nkT\), а скорость можно найти из соотношения, связывающего среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы \(\langle E\rangle\) и абсолютную температуру: \[\langle E\rangle = \frac{3}{2}kT = m_0\frac{\langle V^2\rangle}{2},\] где \(m_0\) – масса молекулы. Тогда \[\Delta N = \frac{pS\Delta t}{6kT}\sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \frac{pS\Delta t N_A}{6}\sqrt{\frac{3}{RT\mu}} \approx 2\cdot10^{27}.\] Здесь \(N_A = 6\cdot10^{23}\) 1/моль.

В единицу времени в отверстие площадью \(S\) будет вылетать \(\dfrac{\Delta N}{\Delta t} = \dfrac{pS}{6}N_A\sqrt{\dfrac{3}{RT\mu}}\) молекул. Полное число молекул воздуха в корабле \(N\) найдем из уравнения Клапейрона – Менделеева: \[N = n\cdot V = \frac{pV}{kT}.\] Полагая, что скорость утечки воздуха неизменна, а давление воздуха в корабле, необходимое для жизнеобеспечения космонавтов, не меньше половины атмосферного, время утечки и, следовательно, время, которое есть у космонавтов в запасе, можно найти как \[\tau = \frac{N}{\Delta N/\Delta t} = \frac{3V}{S}\sqrt{\frac{\mu}{3RT}} \approx 10^4~\text{ч}.\]