Двойной маятник

Подсказка

Нормальные колебания двойного маятника по частотам и отношению амплитуд совпадают с равномерным вращением грузов по горизонтальным окружностям; резонанс обнаруживается по максимумам амплитуд.

Ответ

1.1) \(\omega^2=\omega_0^2\,(2\pm\sqrt2)\), где \(\omega_0^2=g/l\), отношение углов отклонения нитей \(\alpha_2/\alpha_1=\pm\sqrt2\) (в измерениях \(\omega_S\approx4{,}1\) с\(^{-1}\), \(\omega_{aS}\approx10{,}7\) с\(^{-1}\)).

Решение

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Покажем, что приведенная в условии подсказка «работает».

На рис. изображены силы, действующие на небольшое тело, подвешенное на нити и вращающееся по горизонтальной окружности с постоянной угловой скоростью \(\omega\). Запишем уравнения второго закона Ньютона для данного тела в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

\[\begin{cases} m\omega^{2}l\sin\alpha = N\sin\alpha \\ mg = N\cos\alpha \end{cases}\tag{1}\]

Из этих уравнений следует, что угловая скорость такого устойчивого вращения равна

\[\omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\alpha}}.\tag{2}\]

При малых отклонениях \(\cos\alpha \approx 1\), поэтому период вращения оказывается равным

\[T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\tag{3}\]

Что совпадает с периодом колебаний математического маятника.

Аналогично рассмотрим движение двойного маятника, рассматриваемого в данной задаче. Найдем при каких частотах вращения грузы могут вращаться по горизонтальным окружностям. На рис. изображены силы, действующие на грузы двойного маятника. Уравнения второго закона Ньютона для первого (верхнего) и второго грузов в данном случае имеют вид:

\[\begin{cases} m\omega^{2}l\sin\alpha_{1} = N_{1}\sin\alpha_{1} - N_{2}\sin\alpha_{2} \\ mg = N_{1}\cos\alpha_{1} - N_{2}\cos\alpha_{2} \\ m\omega^{2}(l\sin\alpha_{1} + l\sin\alpha_{2}) = N_{2}\sin\alpha_{2} \\ mg = N_{2}\cos\alpha_{2} \end{cases}\tag{4}\]

Считая углы отклонения малыми, положим \(\cos\alpha_{1} \approx 1\), \(\cos\alpha_{2} \approx 1\), \(\sin\alpha_{1} \approx \alpha_{1}\), \(\sin\alpha_{2} \approx \alpha_{2}\). В этом приближении следует, что

\[\begin{aligned} N_{2} &= mg \\ N_{1} &= 2mg \end{aligned},\]

Избавляясь от сил натяжения нитей, получим систему уравнений

\[\begin{cases} m\omega^{2}l\alpha_{1} = 2mg\alpha_{1} - mg\alpha_{2} \\ m\omega^{2}l(\alpha_{1} + \alpha_{2}) = mg\alpha_{2} \end{cases},\tag{5}\]

Для упрощения дальнейшего анализа обозначим круговую частоту одинарного маятника \(\omega_{0}^{2} = \frac{g}{l}\) и перепишем систему в виде

\[\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \alpha _ { 1 } = 2 \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } } \\ { \displaystyle { \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) = \alpha _ { 2 } } \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \left( 2 - \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } = 0 } \\ { \displaystyle { \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } } \alpha _ { 1 } - \left( 1 - \frac { \omega ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \alpha _ { 2 } = 0 } \end{array} \right. .\tag{6}\]

Полученная система является необычной, по крайней мере, для школьников. Во-первых, она имеет очевидное решение \(\alpha_1 = \alpha_2 = 0\), которое интереса не представляет; во-вторых, из каждого из этих уравнений можно выразить только отношение углов отклонений:

Из первого: \(\displaystyle \frac{\alpha_2}{\alpha_1} = 2 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\).

Из второго \(\displaystyle \frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{\omega^2}{\omega_0^2} \left(1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)^{-1}\).

Чтобы система уравнений (6) была совместна, эти отношения должны быть равны, что возможно при выполнении условия

\[2 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2} = \frac{\omega^2}{\omega_0^2} \left(1 - \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)^{-1}.\tag{7}\]

Это выражение представляет собой квадратное уравнение относительно величины \(\displaystyle \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\), решением которого являются

\[\frac{\omega^2}{\omega_0^2} = 2 \pm \sqrt{2}\tag{8}\]

Полученный результат означает, что устойчивое вращение в горизонтальных плоскостях возможно только при этих частотах вращения! Причем каждому из этих значений соответствует строго определенное отношение углов отклонений.

При \(\omega_1 = \omega_0 \sqrt{2 - \sqrt{2}}\) оно равно \(\alpha_2 = \alpha_1 \sqrt{2}\). В этом случае отклонения нитей направлены в одну сторону – симметричное вращение. (рис. а).

При \(\omega_2 = \omega_0 \sqrt{2 + \sqrt{2}}\) отношение углов равно \(\alpha_2 = -\alpha_1 \sqrt{2}\), то есть нити отклонены в противоположные стороны – антисимметричное вращение (рис б).

Аналогичными будут и характеристики движения двойного маятника: возможны два типа собственных колебаний (их еще называют модами колебаний).

Первый тип – симметричные колебания (рис. )

Их частота определяется формулой \(\omega_1 = \omega_0 \sqrt{2 - \sqrt{2}}\), при этом отношение амплитуд колебаний равно \(\displaystyle \frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \sqrt{2}\), отклонения направлены в одну сторону.

Второй тип – антисимметричные колебания с большой частотой \(\omega_2 = \omega_0 \sqrt{2 + \sqrt{2}}\) и отклонением нитей в противоположные стороны с тем же отношением амплитуд \(\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = -\sqrt{2}\). Вид этих колебаний показа на рис.

Отношение частот этих колебаний равно

\[\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = 1 + \sqrt{2}.\tag{9}\]

Часть 2. Экспериментальная.

2.1 Результаты измерений зависимости амплитуды колебаний \(A_1\) (верхнего маятника) и \(A_2\) (нижнего маятника) от длины тяжелого маятника \(l\) приведены в Таблице 1. Отметим, что значения амплитуд приведены в миллиметрах, измеренных по соответствующим линейкам. На рисунке показаны, какие отклонения измерялись при симметричных (S) и антисимметричных (aS) колебаниях. При малых углах эти величины пропорциональны углам отклонений, поэтому отношения амплитуд не зависят от единиц измерения.

Укажем необходимые моменты методики проведения измерений.

При фиксировании значений амплитуд \(A_1\) и \(A_2\) необходимо дождаться, когда энергия, поступающая извне, сравняется с энергией потерь (увеличение отклонения грузиков прекращается). При резонансных частотах это время \(\Delta t\) составляет несколько секунд.

Для достижения притока постоянной энергии со стороны внешнего воздействия на систему, необходимо следить, чтобы массивный грузик отклонялся на одинаковую высоту \(\Delta h = 1 \text{см}\). Таким образом, для чистоты эксперимента необходимо контролировать не амплитуду отклонения маятника переменной длины, а высоту его поднятия!

Таблица 1.

Графики полученной зависимости показаны на следующем рисунке.

\(A_1, A_2\) мм

Полученные зависимости наглядно показывают наличие двух резонансов. Для уточнения положения максимумов и их значений следует провести дополнительные измерения в области обнаруженных максимумов. Результаты этих измерений приведены в Таблицах 2 и 3.

Таблица 2.

Таблица 3.

Графики этих уточненных зависимостей показаны на рисунках. Для сравнения показаны участки, построенные по данным таблицы 1.

По этим данным можно определить, что резонанс для симметричных колебаний наступает при длине тяжелого маятника (являющегося источником вынуждающей силы) равном \(l_S = 58{,}6\) см, а для антисимметричных колебаний при \(l_{aS} = 8{,}5\) см. Частоты этих колебаний можно рассчитать по известной формуле для математического маятника

\[\omega_S = \sqrt{\frac{g}{l_S}} = \sqrt{\frac{9{,}8}{0{,}586}} \approx 4{,}1 \, c^{-1}\]

\[\omega_{aS} = \sqrt{\frac{g}{l_{aS}}} = \sqrt{\frac{9{,}8}{0{,}085}} \approx 10{,}7 \, c^{-1}\tag{10}\]

Отношение этих частот приблизительно равно

\[\frac{\omega_{aS}}{\omega_S} \approx 2{,}6,\tag{11}\]

что достаточно близко к теоретическому значению

\[\frac{\omega_2}{\omega_1} = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}4.\tag{12}\]

Для анализа отношения амплитуд следует перейти от измеренных линейных отклонений грузов к углам отклонения нитей. Для симметричных колебаний отношение углов отклонений (считая их малыми) рассчитывается по формуле

\[\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{A_2 - A_1}{A_1} = \frac{112 - 54}{54} \approx 1{,}1.\tag{13}\]

Для антисимметричных колебаний это отношение рассчитывается по другой формуле

\[\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{A_2 + A_1}{A_1} = \frac{47 + 20}{47} \approx 1{,}4.\tag{14}\]

В теоретических расчетах ранее мы получили, что это отношение в обоих случаях должно быть равно \(\sqrt{2} \approx 1{,}4\). Учитывая сложность проведения эксперимента, особенно в измерении отклонений соответствие между расчетными и измеренными данными можно признать вполне удовлетворительным.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.