Оптический коллаж

Расстояние между симметричными максимумами растёт линейно с расстоянием до экрана; фокусное расстояние рассеивающей линзы находится из линеаризованной зависимости, а наклонное падение сдвигает условие максимума на \(\sin\alpha\).

1.2) \(\lambda\approx0{,}70\) мкм;  2.2) \(f\approx10\) см (по модулю);  3.1) \(d(\sin\varphi-\sin\alpha)=m\lambda\).

Часть 1. Определение длины волны.

1.1 Результаты измерений в таблице и на графике

Так как \(d \frac{\Delta x}{L} = \lambda\), то коэффициент наклона равен \(\frac{\lambda}{d}\). Нетрудно с помощью МНК определить коэффициент наклона \(0{,}070\), а значит \(\lambda = 0{,}70\) мкм.

Часть 2. Фокусное расстояние линзы.

2.1 Измерьте зависимость расстояния между первыми максимумами на экране \(x\) от расстояния \(b\) между решеткой и линзой. Постройте график полученной зависимости. Результаты измерений в таблице и на графике. Измерения проведены при \(l\) равным 20 см

Вывод формулы для расчета фокусного расстояния. На рисунке показан ход луча через рассеивающую линзу.

Из рисунка можно получить следующую систему уравнений:

\[\begin{cases} \frac{d}{b} = \frac{\Delta x}{b+l} \\ \frac{d}{b(b+f)} = f \frac{\Delta x' - d}{l} \end{cases} \Rightarrow \frac{\Delta x'}{\Delta x} = 1 + \frac{bl}{f(b+l)}.\]

Произведем линеаризацию полученной ранее зависимости. Так как

\[\Delta x = \frac{\lambda(b+l)}{d}, \text{ то } \frac{d \Delta x'}{\lambda(b+l)} = 1 + \frac{bl}{f(b+l)}.\]

Произведем замену \(X = \frac{bl}{(b+l)}, Y = \frac{d \Delta x'}{\lambda(b+l)}\). Для зависимости \(Y(X)\) коэффициент наклона будет равен \(f^{-1}\). Результаты расчетов и линеаризованный график – на рисунке.

По МНК получаем коэффициент наклона \(0{,}010\), следовательно фокусное расстояние \(f = 10\) см. Часть 3. Наклонное падение света на решетку. Не сложно показать, что условие максимума дифракции при наклонном падении на решетку имеет вид

\[d(\sin \varphi - \sin \alpha) = m\lambda\]

Таким образом, синус угла дифракции первого порядка, отсчитываемый от нормали к решетке, связан с углом падения соотношением

\[\sin \varphi = \sin \alpha \pm \frac{\lambda}{d}\]

Т.е. линейно связан с синусом угла падения, причем коэффициент наклона равен 1. В следующей таблице приведен график зависимости смещения луча первого максимума от угла поворота дифракционной решетки. Рядом приведен график полученной зависимости (этот график не обязателен). Измерения проведены при \(L = 20\) см

По этим данным можно построить график зависимости \(\sin\varphi\) от \(\sin\alpha\) (предварительно надо рассчитать синусы углов дифракции). Этот график приведен на рисунке. Полученная зависимость является практически линейной. Ее параметры рассчитаны по МНК. Коэффициент наклона равен 0,996 (что в пределах погрешности совпадает с 1), а величина сдвига равна 0,072, что очень близко к теоретическому значению \(\frac{\lambda}{d} = \frac{0{,}7 \cdot 10^{6}}{0{,}01 \cdot 10^{-3}} = 0{,}07\).

Таким образом, экспериментально формула полностью подтверждается!

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.