«Хитрый» продавец и весы

Из рисунка (в условии задачи) понятно, что продавец использует неравноплечие весы, причём длины плеч весов неизвестны и по условию задачи измерять их нельзя! Сначала, ради интереса, рассмотрим, как взвешивает рыбу продавец. Он может взвесить рыбу сначала на одной чашке весов, уравновесив её гирями массой \(m_1\), а затем на второй чашке, уравновесив её гирями массой \(m_2\). Обозначим длину одного из плеч весов \(a\), а другого \(b\). Тогда условия равновесия весов при первом и втором взвешиваниях запишутся в виде: \[ma = m_1b,\quad m_2a = mb,\] где \(m\) — неизвестная масса рыбы. Разделив эти соотношения друг на друга, получим: \(m^2 = m_1m_2\), откуда \(m = \sqrt{m_1m_2}\).

Покупателю этот путь недоступен, так как рыба всё время лежит на одной чашке весов. Однако, он может взвесить рыбу сначала на одной чашке весов, уравновесив её гирями массой \(m_1\), а затем может добавить на чашку, где лежит рыба, гирю известной массы \(m_3\), и вновь провести взвешивание. При этом чашка с рыбой и гирей будет уравновешена гирями массой \(m_4\). Условия равновесия весов в этом случае запишутся в виде: \[ma = m_1b,\quad (m + m_3)a = m_4b.\] Разделив эти соотношения друг на друга, получим: \[\dfrac{m}{m + m_3} = \dfrac{m_1}{m_4},\] откуда для истинной величины массы рыбы \(m\) получается следующее выражение: \[m = \dfrac{m_1m_3}{m_4 - m_1}.\] Так как в знаменателе стоит разность масс гирь при двух взвешиваниях, то для повышения точности измерений необходимо, чтобы эта разность была не очень мала, то есть нужно, чтобы массы \(m_1\) и \(m_4\) были не очень близки. Этого можно достичь, выбирая гирю \(m_3\) побольше, тогда полученный результат будет точнее.