Канат на столе

Так как на столе лежат только \(2/3\) каната, то оставшаяся \(1/3\) каната находится в воздухе и удерживается силой \(F\). Пусть конец висящей части каната составляет с горизонтом угол \(\alpha\) (см. рис. 1.194).

Тогда условия равновесия каната запишутся в виде: \[F\sin\alpha + N = Mg,\qquad(1)\] \[F\cos\alpha \leqslant \mu N,\qquad(2)\] где \(N\) — сила реакции опоры, \(\mu\) — коэффициент трения каната о стол. В точке касания висящей части каната и стола сила натяжения каната направлена горизонтально. Значит, условие равновесия висящей части каната, спроецированное на вертикальную ось, имеет вид: \[F\sin\alpha = \dfrac{1}{3}Mg.\qquad(3)\] Из (1) и (3) для силы реакции опоры получаем: \(N = \dfrac{2}{3}Mg\). Тогда условие (2) записывается в виде \[F\cos\alpha \leqslant \dfrac{2}{3}\mu Mg.\qquad(4)\] Выражая из (3) \(\sin\alpha\) и используя основное тригонометрическое тождество и неравенство (4), находим: \(\sin\alpha = \dfrac{Mg}{3F}\), и \[\mu \geqslant \dfrac{3F\cos\alpha}{2Mg} = \dfrac{\sqrt{9F^2 - M^2g^2}}{2Mg} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\left(\dfrac{3F}{Mg}\right)^2 - 1}.\] Полагая \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), получаем \(\mu \gtrsim 0{,}58\).