Секстант

Выразите угол между входящим и выходящим лучами через углы падения на два зеркала. Зависит ли он от самих углов падения, а не только от их суммы?

Построим ход луча света от Солнца в секстанте при двух отражениях света от плоских зеркал, угол между которыми равен \(\alpha\) (см. рис.). Обозначим вершину угла \(\alpha\) точкой \(O\), точки падения луча на первое и второе зеркала — \(A\) и \(B\), точку пересечения перпендикуляров, восставленных к зеркалам в точках \(A\) и \(B\) — через \(C\), точку пересечения входящего в прибор и выходящего из него лучей — через \(D\). В момент снятия показаний при правильном положении зеркал прямая \(BD\) горизонтальна, а углы падения света на зеркала равны, соответственно, \(i_1\) и \(i_2\).

В четырёхугольнике \(AOBC\) два угла — \(OBC\) и \(OAC\) — прямые, поэтому угол \(BCA\) равен \((\pi - \alpha)\), а смежный с ним равняется \(\alpha\). Но этот же угол является внешним углом треугольника \(ABC\), поэтому \(\alpha = i_1 + i_2\). В свою очередь, угол \(\varphi\) возвышения Солнца над горизонтом равен углу \(BDA\) в треугольнике \(ABD\), остальные углы которого равны, соответственно, \(2i_1\) и \(2i_2\). Поэтому \(\varphi = \pi - 2(i_1 + i_2) = \pi - 2\alpha\).

Таким образом, \(\alpha = (\pi - \varphi)/2\) и не зависит от угла падения света на зеркала. Поэтому даже при качке корабля и изменении угла \(i_1\) луч света от Солнца, выходящий из секстанта, сохраняет своё направление (горизонтальное при правильном подборе угла \(\alpha\)). При этом совместить изображение Солнца с горизонтом гораздо проще, чем визировать на угломерном инструменте сразу два направления — на Солнце и на горизонт, да ещё если всё качается!