Задачи › Вычисление сопротивлений, симметрия, бесконечные цепочки

Мост с переменным резистором

  1. Мост с переменным резистором

    МОШ 2005/06, 9 кл.
    5/10

    Электрическая цепь состоит из трёх резисторов с известными сопротивлениями \(R_1 = 20\) Ом, \(R_2 = 30\) Ом, \(R_4 = 60\) Ом, одного резистора с неизвестным сопротивлением \(R_3\) и одного переменного резистора (см. рисунок). При измерении сопротивления \(R_{AB}\) между точками \(A\) и \(B\) этой электрической цепи выяснилось, что оно не зависит от сопротивления переменного резистора. Найдите величины сопротивлений неизвестного резистора \(R_3\) и всей цепи \(R_{AB}\).

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Если сопротивление цепи не зависит от переменного резистора, то по нему не идёт ток. Что это говорит о напряжениях на \(R_1\) и \(R_3\)?

    Ответ

    \(R_3 = R_1R_4/R_2 = 40\) Ом; \(R_{AB} = \dfrac{(R_1 + R_2)R_4}{R_2 + R_4} \approx 33\) Ом.

    Решение

    Идея решения заключается в том, что при условиях задачи ток через переменный резистор не идёт, и напряжение на нём равно нулю (в противном случае изменение сопротивления этого резистора неизбежно приводило бы к изменению величины \(R_{AB}\)). Отсюда вытекает, что напряжения \(U_1\) и \(U_3\) на резисторах \(R_1\) и \(R_3\) совпадают. Так как \[U_1 = U_{AB}\cdot\dfrac{R_1}{R_1 + R_2},\quad U_3 = U_{AB}\cdot\dfrac{R_3}{R_3 + R_4},\] то отсюда \(R_1R_4 = R_2R_3\), и сопротивление неизвестного резистора \(R_3 = R_1R_4/R_2 = 40\) Ом. Сопротивление всей цепи можно найти, пользуясь формулой для параллельного соединения резисторов: \[\dfrac{1}{R_{AB}} = \dfrac{1}{R_1 + R_2} + \dfrac{1}{R_3 + R_4},\quad\text{откуда}\quad R_{AB} = \dfrac{(R_1 + R_2)R_4}{R_2 + R_4} \approx 33\text{ Ом}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх