Щиты Архимеда

Плоский щит не собирает лучи, а только направляет их, но Солнце — не точка, и пучок за расстояние \(l\) расплывается. Сравните, во сколько раз освещённость пятна увеличена у линзы и у щитов, и подумайте, что ещё отличает пятно размером в миллиметр от пятна размером в метр.

Освещённость увеличена у линзы в \((d/F\alpha)^2=900\) раз, у щитов в \(n\bigl(D/(D+l\alpha)\bigr)^2\approx70\) раз, но пятно щитов в \(1200\) раз шире, и нагрев при теплоотводе в дерево у щитов примерно в \(90\) раз сильнее, чем у линзы: рассказ правдоподобен.

Что происходит. Солнце — не точка, а диск с угловым размером \(\alpha\): лучи от его краёв идут друг к другу под углом \(\alpha\). Поэтому линза даёт не точку, а изображение Солнца диаметром \(F\alpha\), а плоский щит — не точку, а пятно, размер которого больше \(D\): пучок от каждой точки Солнца параллелен после отражения, но лучи от краёв Солнца за путь \(l\) расходятся. Сначала найдём, во сколько раз освещённость (плотность потока энергии) в пятне больше солнечной \(E\) у линзы и у щитов. Но освещённости мало: опыт с линзой доказывает только, что \(900E\) достаточно для воспламенения; необходимо знать, как зависит нагрев от размера пятна. Главная идея: сравнить нагрев дерева в двух опытах с учётом отвода тепла.

Обозначения. \(E\) — плотность потока солнечного излучения у поверхности Земли, \(E_{\text{л}}\) и \(E_{\text{щ}}\) — те же величины в пятне линзы и в пятне щитов, \(r\) — радиус пятна.

1. Линза. Линза собирает энергию с площади \(\pi d^2/4\). Лучи от центра Солнца идут параллельно оси и сходятся в фокусе, лучи от края Солнца идут под углом \(\alpha/2\) к оси и сходятся на расстоянии \(F\alpha/2\) от фокуса (рисунок): изображение Солнца — диск диаметром \(F\alpha=1\) мм. Вся собранная энергия приходит на него: \[E_{\text{л}}=E\,\frac{\pi d^2/4}{\pi (F\alpha)^2/4}=E\Bigl(\frac{d}{F\alpha}\Bigr)^2=900E,\qquad r_{\text{л}}=\frac{F\alpha}{2}=0{,}5\text{ мм}.\]

2. Щиты. Плоское зеркало не фокусирует, и отражённые пучки идут так, будто щит — окно в сторону Солнца (рисунок). Пятно от одного щита: диаметр щита \(D\) плюс расплывание \(l\alpha\) крайних лучей, то есть \[D+l\alpha=1\text{ м}+20\text{ м}\cdot0{,}01=1{,}2\text{ м},\qquad r_{\text{щ}}=0{,}6\text{ м}.\] Все \(n\) щитов направляем в одно пятно. Каждый щит отдаёт энергию \(E\cdot\pi D^2/4\), пятно имеет площадь \(\pi(D+l\alpha)^2/4\): \[E_{\text{щ}}=nE\Bigl(\frac{D}{D+l\alpha}\Bigr)^2=100\Bigl(\frac1{1{,}2}\Bigr)^2E\approx69E .\] В центре пятна, где перекрываются пучки всех щитов, освещённость ещё выше.

3. Сравнение освещённостей. \(E_{\text{щ}}\approx69E\) меньше \(E_{\text{л}}=900E\). Но из этого нельзя сделать вывод «рассказ неправдоподобен»: дерево горит, когда нагревается до температуры воспламенения, а нагрев определяется балансом: приходящая мощность \(\sim E_{\text{пятна}}\,r^2\) равна мощности отвода тепла. Отвод тепла от пятна радиусом \(r\) в дерево и воздух пропорционален размеру пятна: по порядку величины \(\lambda\,r\,\Delta T\), где \(\lambda\) — теплопроводность, \(\Delta T\) — перегрев. Тогда \[E_{\text{пятна}}\,r^2\sim\lambda\,r\,\Delta T\quad\Rightarrow\quad \Delta T\sim\frac{E_{\text{пятна}}\,r}{\lambda}.\] В опыте с линзой дерево загорается, то есть \(E_{\text{л}}r_{\text{л}}\) достаточно для воспламенения. Для щитов \[\frac{\Delta T_{\text{щ}}}{\Delta T_{\text{л}}}\sim\frac{E_{\text{щ}}\,r_{\text{щ}}}{E_{\text{л}}\,r_{\text{л}}}=\frac{69\cdot0{,}6\text{ м}}{900\cdot5\cdot10^{-4}\text{ м}}\approx90 .\] Дерево на корабле нагревается примерно в \(90\) раз сильнее, чем в опыте с линзой, где оно загорается.

Ответ. Освещённость у линзы \(E_{\text{л}}=(d/F\alpha)^2E=900E\), у щитов \(E_{\text{щ}}=nE\bigl(D/(D+l\alpha)\bigr)^2\approx69E\); отношение нагревов \(\dfrac{\Delta T_{\text{щ}}}{\Delta T_{\text{л}}}\sim\dfrac{E_{\text{щ}}r_{\text{щ}}}{E_{\text{л}}r_{\text{л}}}\approx90>1\), поэтому рассказ правдоподобен: щиты могут зажечь дерево на расстоянии \(20\) м.

Обратите внимание. Сравнивать только освещённости (\(69E<900E\)) нельзя: линза доказывает достаточность \(900E\), а не необходимость, и крохотное пятно линзы теряет тепло гораздо активнее метрового пятна. Второе: щит не может сфокусировать пятно меньше \(D\), поэтому «улучшить» результат уменьшением пятна нельзя, но можно увеличить число щитов. Третье: оценка идеальна: коэффициент отражения принят равным единице, щиты точно нацелены на одно пятно и не затеняют друг друга; на деле коэффициент отражения бронзы ниже, но запас в \(90\) раз велик.

Проверка. Предельный случай \(l\to0\): пятно равно \(D\), \(E_{\text{щ}}\to nE=100E\) — все пучки без расплывания. При \(l=D/\alpha=100\) м пятно вдвое шире щита, \(E_{\text{щ}}=25E\). Оценка для воздушного охлаждения большого пятна: \(E\approx10^{3}\text{ Вт/м}^2\), теплоотдача \(h\sim20\text{ Вт/(м}^2\text{К)}\), \(\Delta T\sim69\cdot10^{3}/20\sim3\cdot10^{3}\) К — намного выше температуры воспламенения дерева (\(\sim300\) °C), даже если учесть потери на отражение. Размерность всех отношений безразмерна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.