Громкоговоритель на ящике

Диффузор с подвесом — груз на пружине. Когда диффузор закрывает ящик, воздух внутри при каждом смещении сжимается или разрежается и добавляет возвращающую силу, пропорциональную смещению, то есть вторую пружину, параллельную подвесу.

\(\nu=\nu_0\sqrt{1+\dfrac{p_0S^2}{4\pi^2\nu_0^2\,mV}}\approx1{,}2\cdot10^{2}\text{ Гц}\) (при \(p_0=10^{5}\) Па).

Что происходит. Диффузор вместе с подвесом — колебательная система: масса \(m\) на пружине жёсткостью \(k\), с собственной частотой \(\nu_0=\dfrac1{2\pi}\sqrt{k/m}\). Если громкоговоритель закрывает ящик, то при смещении диффузора внутрь объём воздуха уменьшается, давление растёт и воздух выталкивает диффузор обратно; при смещении наружу воздух разрежается и втягивает его. Это дополнительная возвращающая сила, пропорциональная смещению (при малых смещениях), то есть вторая пружина жёсткостью \(k_{\text{в}}\), параллельная подвесу. Главная идея: найти \(k_{\text{в}}\) из закона Бойля — Мариотта, сложить жёсткости и пересчитать частоту.

Обозначения. \(x\) — смещение диффузора внутрь ящика от положения равновесия, \(p_0\) — атмосферное давление (в условии не задано, берём \(p_0=1{,}0\cdot10^{5}\) Па), \(\Delta p\) — добавка давления в ящике.

1. Жёсткость подвеса. Для груза на пружине \(\omega_0^2=k/m\), поэтому \[k=m(2\pi\nu_0)^2=5\cdot10^{-3}\cdot(2\pi\cdot50)^2\text{ Н/м}\approx4{,}9\cdot10^{2}\text{ Н/м}.\]

2. Давление в ящике. В равновесии давление в ящике равно \(p_0\), а объём \(V\). Диффузор сместился на \(x\) внутрь, объём стал \(V-Sx\). Температура воздуха по условию постоянна, масса воздуха постоянна, поэтому применим закон Бойля — Мариотта для воздуха в ящике между этими двумя состояниями: \(p_0V=p\,(V-Sx)\). Отсюда \[\Delta p=p-p_0=p_0\frac{Sx}{V-Sx}\approx p_0\frac{Sx}{V}.\] Приближение верно при \(Sx\ll V\): при \(x=1\) мм получаем \(Sx=3\cdot10^{-5}\) м\(^3\) — это \(0{,}08\,\%\) от \(V=0{,}04\) м\(^3\).

3. Сила со стороны воздуха. Снаружи на диффузор всё время действует \(p_0\), внутри \(p_0+\Delta p\), поэтому результирующая сила давления равна \(\Delta p\,S\) и направлена против смещения (наружу): \[F_{\text{газ}}=\Delta p\,S=\frac{p_0S^2}{V}\,x\quad\Rightarrow\quad k_{\text{в}}=\frac{p_0S^2}{V}=\frac{10^{5}\cdot(3\cdot10^{-2})^2}{4\cdot10^{-2}}\text{ Н/м}=2{,}25\cdot10^{3}\text{ Н/м}.\]

4. Новая частота. Запишем второй закон Ньютона для диффузора в проекции на ось смещения. И сила подвеса, и сила давления направлены против \(x\) при любом знаке смещения, поэтому жёсткости складываются: \[m\ddot x=-(k+k_{\text{в}})\,x\quad\Rightarrow\quad \omega^2=\frac{k+k_{\text{в}}}{m},\qquad \nu=\nu_0\sqrt{1+\frac{k_{\text{в}}}{k}}.\] Подставим \(k_{\text{в}}/k=2250/493\approx4{,}56\): \[\nu=50\text{ Гц}\cdot\sqrt{1+4{,}56}\approx118\text{ Гц}.\]

Ответ. В буквах \(\nu=\nu_0\sqrt{1+\dfrac{p_0S^2}{4\pi^2\nu_0^2mV}}\); в числах \(\nu\approx1{,}2\cdot10^{2}\) Гц, то есть частота выросла в \(2{,}4\) раза (график силы \(F(x)\) идёт круче в \(5{,}6\) раза, частота пропорциональна корню).

Обратите внимание. Давление \(p_0\) в условии не задано, а ответ от него зависит как \(\sqrt{p_0}\): берём нормальное атмосферное. Второе: расчёт идёт по условию для изотермического сжатия. Если считать колебания воздуха адиабатическими, жёсткость воздуха больше в \(\gamma=1{,}4\) раза и частота выходит около \(136\) Гц; условие велит считать температуру постоянной, поэтому ответ \(118\) Гц.

Проверка. Размерность: \([p_0S^2/V]=\text{Па}\cdot\text{м}^4/\text{м}^3=\text{Н/м}\), как у жёсткости. Предельный случай: при \(V\to\infty\) получаем \(k_{\text{в}}\to0\) и \(\nu\to\nu_0\) — ящик бесконечно большой, воздух не сопротивляется. Физический смысл: маленький закрытый ящик работает как мощная воздушная пружина, жёсткость которой в несколько раз больше жёсткости подвеса, и частота диффузора заметно растёт.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.