Конденсаторы и диоды

Каждый диод включён параллельно своему конденсатору и не даёт напряжению на нём стать неправильного знака. Средний узел (нижняя обкладка \(C_1\) и верхняя \(C_2\)) при закрытых диодах изолирован, и его заряд сохраняется; подкачивается этот заряд только через открытые диоды.

\(u_1=-\dfrac{C_2}{C_1+C_2}\,U_0(1-\cos\omega t),\qquad u_2=\dfrac{C_2+C_1\cos\omega t}{C_1+C_2}\,U_0\) (верхний конденсатор \(C_1\) и нижний \(C_2\)).

Что происходит. Диод \(D_1\) включён параллельно \(C_1\) и пропускает ток вниз, от верхнего узла к среднему; значит, напряжение на \(C_1\) (верх минус середина) никогда не станет положительным: \(u_1\le0\). Диод \(D_2\) параллелен \(C_2\) и пропускает ток вверх, от нижнего узла к среднему; значит, напряжение на \(C_2\) (середина минус низ) не станет отрицательным: \(u_2\ge0\). Всегда \(u_1+u_2=u\). Средний узел, пока диоды закрыты, ни с чем не соединён, и его заряд сохраняется. Когда диод открывается, в средний узел приходит заряд, и он остаётся там. Так за несколько периодов средний узел «накачивается» до заряда, при котором диоды открываются лишь на мгновение, — это установившийся режим. Ключевые законы: закон сохранения заряда для среднего узла и связь \(u=q/C\).

Обозначения. \(q_1\), \(q_2\) — заряды верхних обкладок \(C_1\), \(C_2\); \(u_1=q_1/C_1\), \(u_2=q_2/C_2\). Заряд среднего узла (нижняя обкладка \(C_1\) плюс верхняя обкладка \(C_2\)) \(Q=q_2-q_1\). Условия диодов: \(u_1\le0\), то есть \(q_1\le0\), и \(u_2\ge0\), то есть \(q_2\ge0\); поэтому \(Q=q_2+|q_1|\ge0\).

1. Диоды закрыты. Закон сохранения заряда для изолированного среднего узла: \(Q=\text{const}\). Тогда \(q_2=Q+q_1\), а напряжение источника \[u=\frac{q_1}{C_1}+\frac{Q+q_1}{C_2}\quad\Rightarrow\quad q_1=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\Bigl(u-\frac{Q}{C_2}\Bigr).\] Условия \(q_1\le0\) и \(q_2=Q+q_1\ge0\) выполнены, пока \(-\dfrac{Q}{C_1}\le u\le\dfrac{Q}{C_2}\). За пределами этого промежутка соответствующий диод открывается.

2. Как \(Q\) растёт. Если \(u\) пытается подняться выше \(Q/C_2\), открывается \(D_1\): он шунтирует \(C_1\), \(q_1=0\), всё напряжение на \(C_2\), \(q_2=C_2u\) растёт вместе с \(u\) до максимума \(U_0\), и \(Q=q_2\) доходит до \(C_2U_0\). При спаде напряжения \(D_1\) закрывается, и накопленный заряд остаётся: ток через диод шёл в средний узел, а выйти оттуда заряду некуда. Аналогично, если \(u\) опускается ниже \(-Q/C_1\), открывается \(D_2\), \(q_2=0\), \(q_1=C_1u\) и \(Q=-q_1\) растёт до \(C_1U_0\). Значит, \(Q\) может только расти, пока выполняется хотя бы одно из условий \(Q<C_2U_0\) или \(Q<C_1U_0\). Так как \(C_2>C_1\), рост заканчивается при \[Q=C_2U_0 .\] При таком \(Q\) нижняя граница \(-Q/C_1=-U_0C_2/C_1<-U_0\) недостижима, и \(D_2\) не открывается вовсе, а верхняя граница \(Q/C_2=U_0\) достигается лишь в самом максимуме \(u\), где \(D_1\) на мгновение касается открытия.

3. Напряжения в установившемся режиме. Подставим \(Q=C_2U_0\) в выражение для \(q_1\) шага 1: \[q_1=-\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\,U_0(1-\cos\omega t),\] \[u_1=\frac{q_1}{C_1}=-\frac{C_2}{C_1+C_2}\,U_0(1-\cos\omega t),\qquad u_2=u-u_1=\frac{C_2+C_1\cos\omega t}{C_1+C_2}\,U_0 .\] Проверка условий диодов: \(u_1\le0\) всегда, а \(u_2\ge\dfrac{C_2-C_1}{C_1+C_2}\,U_0>0\) — поэтому в условии и стоит \(C_2>C_1\).

4. График. Оба напряжения гармонические с частотой \(\omega\) и смещённым средним: \(u_1\) колеблется от \(0\) до \(-\dfrac{2C_2}{C_1+C_2}U_0\), \(u_2\) — от \(\dfrac{C_2-C_1}{C_1+C_2}U_0\) до \(U_0\); амплитуды колебаний обратно пропорциональны ёмкостям (последовательные конденсаторы). Рисунок построен по вычисленным значениям для \(C_2=2C_1\): \(u_1=-\tfrac23U_0(1-\cos\omega t)\) от \(0\) до \(-\tfrac43U_0\), \(u_2=\tfrac13U_0(2+\cos\omega t)\) от \(\tfrac13U_0\) до \(U_0\).

Ответ. В буквах \(u_1=-\dfrac{C_2}{C_1+C_2}U_0(1-\cos\omega t)\), \(u_2=\dfrac{C_2+C_1\cos\omega t}{C_1+C_2}U_0\); график — две косинусоиды, сдвинутые вдоль оси напряжений (рисунок), \(u_1+u_2=u\).

Обратите внимание. Простое деление напряжения «обратно ёмкостям» тут неверно: без диодов было бы \(u_1=\dfrac{C_2}{C_1+C_2}U_0\cos\omega t\) со средним значением нуль. Диоды добавляют постоянную составляющую: конденсаторы подзаряжаются так, что в максимуме \(u\) напряжение \(u_1\) точно доходит до нуля. Второе: в установившемся режиме токи через диоды текут лишь мгновенно, в максимуме \(u\); нигде, кроме них, заряд среднего узла не меняется.

Проверка. Сумма \(u_1+u_2=U_0\cos\omega t\) в любой момент. Предельный случай \(C_1\to0\): \(u_2\to U_0\) постоянно, а всё колебание достаётся малому \(C_1\): \(u_1=U_0\cos\omega t-U_0\), как у последовательных конденсаторов, где напряжение делится обратно ёмкостям. При \(C_1=C_2\) минимум \(u_2\) равен нулю: \(D_2\) только касается открытия, как и должно быть на границе условия \(C_2>C_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.