Мост с нелинейными резисторами

Нулевой ток через гальванометр значит, что через \(R_1\) и \(R_2\) течёт один и тот же ток, а через \(R_3\) и \(R_4\) — другой общий ток, и потенциалы двух средних точек моста равны. Запишите равенство напряжений на верхних и на нижних резисторах.

\(U_0=\dfrac{2R^2}{\alpha}\).

Что происходит. Ток через гальванометр равен нулю, когда потенциалы точек \(M\) и \(N\), к которым он подключён, одинаковы. Гальванометр тока не пропускает, поэтому резисторы \(R_1\) и \(R_2\) соединены последовательно с одним общим током \(I_1\), а \(R_3\) и \(R_4\) — с одним общим током \(I_2\). Равенство потенциалов \(M\) и \(N\) значит, что напряжения на верхних резисторах одинаковы (\(U_1=U_3\)): оба отсчитываются от верхнего провода; значит, одинаковы и напряжения на нижних (\(U_2=U_4\)). Главная идея: записать два равенства для токов с учётом нелинейной зависимости \(U=\alpha I^2\).

1. Токи и напряжения ветвей. Для линейного резистора напряжение равно \(U=IR\) (закон Ома), для нелинейного \(U=\alpha I^2\). Поэтому \[U_1=\alpha I_1^2,\qquad U_2=R I_1,\qquad U_3=R I_2,\qquad U_4=\alpha I_2^2.\]

2. Условия баланса. Потенциалы \(M\) и \(N\) равны, поэтому равны напряжения между каждым из них и верхним проводом, и между каждым из них и нижним: \[\alpha I_1^2=R I_2,\qquad R I_1=\alpha I_2^2.\]

3. Токи. Из первого уравнения \(I_2=\alpha I_1^2/R\). Подставим во второе: \[RI_1=\alpha\cdot\frac{\alpha^2I_1^4}{R^2}\quad\Rightarrow\quad I_1\Bigl(\alpha^3I_1^3-R^3\Bigr)=0 .\] Решение \(I_1=0\) даёт \(U_0=0\) — тривиальный случай без источника. Остаётся \(I_1=R/\alpha\), и тогда \(I_2=\alpha I_1^2/R=R/\alpha\): токи равны (рисунок).

4. Напряжение источника. Ветви \(R_1R_2\) и \(R_3R_4\) подключены к источнику параллельно, поэтому \[U_0=U_1+U_2=\alpha I_1^2+RI_1=\alpha\frac{R^2}{\alpha^2}+\frac{R^2}{\alpha}=\frac{2R^2}{\alpha}.\]

Ответ. \(U_0=\dfrac{2R^2}{\alpha}\). Например, при \(R=100\) Ом и \(\alpha=100\) В/А\(^2\) токи равны \(1\) А, на каждом резисторе по \(100\) В, \(U_0=200\) В.

Обратите внимание. Условие баланса \(R_1R_4=R_2R_3\) верно и для нелинейных элементов, но только для статических сопротивлений \(U/I\) в рабочей точке: \(R_1=\alpha I_1\), \(R_4=\alpha I_2\). Они зависят от тока, поэтому одного условия баланса мало, и нужны оба равенства напряжений.

Проверка. Второй способ: через статические сопротивления баланс даёт \(\alpha I_1\cdot\alpha I_2=R\cdot R\). Напряжение источника можно записать двумя способами: \(U_0=\alpha I_1^2+RI_1=\alpha I_2^2+RI_2\); функция \(\alpha I^2+RI\) возрастает, поэтому \(I_1=I_2=I\), и из баланса \(\alpha^2I^2=R^2\), то есть \(I=R/\alpha\) — тот же результат. Размерность: \(R^2/\alpha\) имеет единицы \((\text{В/А})^2/(\text{В/А}^2)=\text{В}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.