Ракеты с полюсов

После старта двигатели не работают, и каждая ракета — спутник Земли на эллиптической орбите. Старты симметричны относительно центра Земли, поэтому ракеты всё время остаются диаметрально противоположными; от ближайшей точки орбиты до дальней проходит половина периода.

\(L=2\bigl(2a-R_{\text{З}}\bigr)\), где \(a=\Bigl(\dfrac{gR_{\text{З}}^2\tau^2}{\pi^2}\Bigr)^{1/3}\), то есть \(L\approx5{,}9\cdot10^{4}\text{ км}\).

Что происходит. После старта ракеты летят с выключенными двигателями, сопротивления воздуха нет, вращение Земли не учитываем: каждая ракета — спутник, движущийся под действием одной силы тяготения. Его орбита — эллипс с центром Земли \(O\) в фокусе. Точка старта лежит на поверхности, скорость в ней горизонтальна, то есть перпендикулярна радиусу, и это ближайшая к Земле точка орбиты, перигей: если бы скорость была меньше круговой, ракета упала бы на Землю. Ракеты стартуют из диаметрально противоположных точек с равными скоростями, поэтому понимаем условие так: их скорости направлены в противоположные стороны, и вся картина симметрична относительно точки \(O\). Тогда в любой момент ракеты диаметрально противоположны, а расстояние между ними равно \(2r\), где \(r\) — расстояние ракеты до центра Земли. Оно максимально там, где максимален \(r\), в апогее; от перигея до апогея проходит половина периода, \(\tau=T/2\). Главная идея: по периоду найти большую полуось эллипса, а по ней — апогей. Ключевой закон — закон всемирного тяготения в форме третьего закона Кеплера.

Обозначения. \(a\) — большая полуось орбиты, \(R=R_{\text{З}}\) — перигей, \(r_{\max}\) — апогей, \(T\) — период обращения, \(M\) — масса Земли, \(G\) — гравитационная постоянная.

1. Период. Ракеты находятся на максимальном удалении в апогее, а стартовали из перигея, поэтому \(\tau\) — половина периода: \[T=2\tau=2\cdot 12000\text{ с}=2{,}4\cdot10^{4}\text{ с}.\]

2. Большая полуось. Для движения спутника в поле Земли период связан с большой полуосью третьим законом Кеплера (он следует из закона всемирного тяготения для тела, на которое действует только сила притяжения к \(M\)): \[\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}.\] Произведение \(GM\) найдём по ускорению свободного падения на поверхности: для тела массой \(m\) у поверхности \(mg=GMm/R^2\), откуда \(GM=gR^2\). Отсюда \[a=\Bigl(\frac{gR^2T^2}{4\pi^2}\Bigr)^{1/3}=\Bigl(\frac{9{,}8\cdot(6{,}4\cdot10^{6})^2\cdot(2{,}4\cdot10^{4})^2}{4\pi^2}\Bigr)^{1/3}\text{ м}\approx1{,}80\cdot10^{7}\text{ м}.\]

3. Апогей. Перигей и апогей лежат на большой оси эллипса, их сумма равна \(2a\) (рисунок): \[R+r_{\max}=2a\quad\Rightarrow\quad r_{\max}=2a-R\approx(3{,}605-0{,}640)\cdot10^{7}\text{ м}\approx2{,}97\cdot10^{7}\text{ м}.\]

4. Расстояние между ракетами. В апогее ракеты находятся по разные стороны от центра Земли на одной прямой с ним: \[L=2r_{\max}=2(2a-R).\]

Ответ. В буквах \(L=4\Bigl(\dfrac{gR^2\tau^2}{\pi^2}\Bigr)^{1/3}-2R\); в числах \(L\approx5{,}9\cdot10^{7}\text{ м}\approx5{,}9\cdot10^{4}\text{ км}\) (около 59 тысяч километров, почти в полтора раза больше длины экватора).

Обратите внимание. В третий закон Кеплера входит большая полуось \(a=(R+r_{\max})/2\), а не высота над Землёй и не радиус Земли. Второе: без симметрии скоростей, например при скоростях в одну сторону, расстояние между ракетами в апогее не равнялось бы \(2r_{\max}\); условие о «максимальном удалении» подразумевает именно симметричный случай.

Проверка. Скорость старта найдём по закону сохранения энергии: \(v_0^2=GM\bigl(2/R-1/a\bigr)\), откуда \(v_0\approx10{,}2\) км/с. Она лежит между первой космической скоростью \(\sqrt{gR}=7{,}9\) км/с и второй \(11{,}2\) км/с, значит орбита действительно замкнутый эллипс, который не пересекает Землю: ответ согласован. Предельный случай: при \(a\to R\), то есть \(\tau\to\pi\sqrt{R/g}\approx42\) мин, получаем \(r_{\max}\to R\) и \(L\to2R\) — две ракеты у самой поверхности на противоположных сторонах Земли, как и должно быть для круговой орбиты.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.