Униполярный индуктор

Найдите, при какой разности потенциалов сила Лоренца уравновешивается кулоновской силой, и вычислите разность потенциалов между осью и боковой поверхностью. При предельной частоте ЭДС батарейки уравновешивает эту разность потенциалов.

1. На свободные электроны в проводящем слое при вращении диска действует сила Лоренца \(F_{\text{л}} = evB\), где \(e < 0\) — заряд электрона, \(v = \omega r\) — линейная скорость. При указанных на рисунке 27 направлениях магнитного поля и вращения диска сила Лоренца направлена к центру диска. В результате возникает перераспределение зарядов: электроны будут перемещаться к центру, а на боковой поверхности образуется нескомпенсированный положительный заряд. Это приведёт к возникновению электрического поля \(\vec E\), направленного по радиусу к центру. Равновесие наступит, когда в каждой точке проводящего слоя кулоновская сила скомпенсирует силу Лоренца: \[eE = evB = e\omega rB, \quad\text{то есть}\quad E = vB.\] Разность потенциалов \(\Delta\varphi\) между боковой поверхностью диска (\(r = r_0\)) и его центром (\(r = 0\)) равна \[\Delta\varphi = \int_0^{r_0} E\,dr = \frac{1}{2}\omega r_0^2 B.\] Эта разность потенциалов и будет измерена вольтметром: \[V = \Delta\varphi = \frac{1}{2}\omega r_0^2 B = \pi\nu r_0^2 B = 62{,}8~\text{мВ},\] причём минус — в центре диска, а плюс — на боковой поверхности.

2. Диск разгоняется моментом силы Ампера, возникающей в результате взаимодействия радиально направленного тока с магнитным полем диска. В соответствии с правилом левой руки диск будет вращаться так же, как и на рисунке 27 — против часовой стрелки, если смотреть сверху. Разгон диска прекратится, когда сила тока станет равной нулю, то есть когда разность потенциалов \(\Delta\varphi\), обусловленная действием силы Лоренца (см. пункт 1), станет равной ЭДС батарейки: \[\Delta\varphi = \mathcal{E}, \quad\text{или}\quad \pi\nu_{\text{пред}} r_0^2 B = \mathcal{E},\] откуда \(\nu_{\text{пред}} = \mathcal{E}/(\pi r_0^2 B) = 7{,}2\cdot 10^4\) об/мин.