Движение заряженных частиц

По симметрии все точки движутся одинаково, и на каждую действует центральная сила. Сравните её с кулоновским притяжением к заряду противоположного знака.

1. По симметрии все материальные точки будут двигаться по одинаковым траекториям, оставаясь в каждый момент времени на окружности некоторого переменного радиуса \(r(t)\) в вершинах квадрата со сторонами \(a = \sqrt{2}\,r(t)\). Рассмотрим одну из материальных точек. На неё действуют силы \(F_1\), \(F_2\) и \(F_3\) со стороны остальных частиц (рис. 26). По закону Кулона модули этих сил: \[F_1 = F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{2r^2}, \qquad F_3 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4r^2}.\]

Результирующая сила всегда направлена к центру (точка \(O\)), а её модуль равен \[F(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q^2}{2r^2}\sqrt{2} - \frac{q^2}{4r^2}\right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{r^2}\left(\frac{2\sqrt{2} - 1}{4}\right).\] Отсюда следует, что каждая из материальных точек движется так, как если бы из центра её притягивал заряд, противоположный по знаку и по абсолютной величине равный \[Q = q\sqrt{\frac{2\sqrt{2} - 1}{4}}.\] Формула для \(F(r)\) аналогична закону Кулона (или закону всемирного тяготения), так как \(F(r) \sim 1/r^2\). Поэтому траектории точек — эллипсы с большой осью \(R_0 + R_1\). Точка \(O\) находится в одном из фокусов этих эллипсов.

2. Характерное время — период \(T\) обращения по эллиптической орбите. Его можно найти из третьего закона Кеплера. Найдём сначала период \(T_0\) обращения точечной массы \(m\), движущейся под действием силы \(F(r)\) по круговой орбите радиуса \(R_0\): \[T_0 = \frac{2\pi R_0}{v_0}, \qquad \frac{m v_0^2}{R_0} = F(R_0) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{R_0^2}\cdot\frac{2\sqrt{2} - 1}{4}.\] Из этих соотношений следует \[v_0 = q\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{2\sqrt{2} - 1}{4mR_0}}.\] Тогда \[T_0 = \frac{2\pi}{q}\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0\cdot 4mR_0^3}{2\sqrt{2} - 1}}.\] По третьему закону Кеплера \[\left(\frac{T}{T_0}\right)^2 = \left(\frac{R_0 + R_1}{2R_0}\right)^3, \quad\text{откуда}\quad T = T_0\left(\frac{R_0 + R_1}{2R_0}\right)^{3/2}.\] Подставляя в эту формулу выражение для \(T_0\), получим \[T = \frac{2\pi}{q}\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0\, m(R_0 + R_1)^3}{2\sqrt{2} - 1}}.\]