К столетию атомного ядра Резерфорда: рассеяние иона на нейтральном атоме

Поле иона поляризует атом, а поле индуцированного диполя действует обратно на ион: сила пропорциональна \(Q^2\) и убывает как \(r^{-5}\). Для наибольшего сближения запишите законы сохранения энергии и момента импульса; спираль возникает, когда у уравнения для \(r_{min}\) нет вещественного корня.

1. По закону Кулона электрическое поле на расстоянии \(r\) равно \[E_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0(r - a)^2} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0(r + a)^2},\qquad E_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\left(\frac{1}{\left(1 - \dfrac ar\right)^2} - \frac{1}{\left(1 + \dfrac ar\right)^2}\right). \tag{1}\] Используя биномиальное разложение при малых \(a\), \[E_p = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\left(1 + \frac{2a}{r} - 1 + \frac{2a}{r}\right) = +\frac{4qa}{4\pi\varepsilon_0r^3} = +\frac{qa}{\pi\varepsilon_0r^3} = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0r^3}. \tag{2}\]

2. Электрическое поле, создаваемое ионом в точке нахождения атома, равно \[\vec E_{ion} = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat r. \tag{3}\] Тогда индуцированный дипольный момент просто равен \[\vec p = \alpha\vec E_{ion} = -\frac{\alpha Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat r. \tag{4}\] Из уравнения (2) \[\vec E_p = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0r^3}\hat r.\] Напряжённость электрического поля \(\vec E_p\) в точке нахождения иона в этот момент, с учётом (4), равна \[\vec E_p = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0r^3}\left[-\frac{2\alpha Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\hat r\right] = -\frac{\alpha Q}{8\pi^2\varepsilon_0^2r^5}\hat r.\] Сила, действующая на ион, \[\vec f = Q\vec E_p = -\frac{\alpha Q^2}{8\pi^2\varepsilon_0^2r^5}\hat r. \tag{5}\] Знак «\(-\)» означает, что эта сила — сила притяжения, а \(Q^2\) означает, что сила является силой притяжения независимо от знака \(Q\).

3. Потенциальная энергия взаимодействия иона с атомом равна \[U = \int_r^\infty\vec f\cdot d\vec r. \tag{6}\] Отсюда \[U = \int_r^\infty\vec f\cdot d\vec r = -\frac{\alpha Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0^2r^4}. \tag{7}\] [Замечание: ученики могут использовать выражение \(-\vec p\cdot\vec E\), что меняет только множитель перед выражением.]

4. В точке \(r_{min}\) по закону сохранения момента импульса \[mv_{max}r_{min} = mv_0b,\qquad v_{max} = v_0\frac{b}{r_{min}}. \tag{8}\] По закону сохранения энергии \[\frac12mv_{max}^2 + \frac{-\alpha Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0^2r^4} = \frac12mv_0^2. \tag{9}\] Из уравнений (12) и (13): \[\left(\frac{b}{r_{min}}\right)^2 - \frac{\alpha Q^2\Big/\frac12mv_0^2}{32\pi^2\varepsilon_0^2b^4}\left(\frac{b}{r_{min}}\right)^4 = 1,\] \[\left(\frac{r_{min}}{b}\right)^4 - \left(\frac{r_{min}}{b}\right)^2 + \frac{\alpha Q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2mv_0^2b^4} = 0. \tag{10}\] Корни уравнения (14): \[r_{min} = \frac{b}{\sqrt2}\left[1 \pm \sqrt{1 - \frac{\alpha Q^2}{4\pi^2\varepsilon_0^2mv_0^2b^4}}\right]^{1/2}. \tag{11}\] [Заметим, что из уравнения (14) следует, что \(r_{min}\) не может быть равно нулю, если только само \(b\) не равно нулю.]

Поскольку выражение должно быть справедливо и при \(Q = 0\), что даёт \[r_{min} = \frac{b}{\sqrt2}[1 \pm 1]^{1/2},\] нужно выбрать знак «\(+\)», чтобы получить \(r_{min} = b\). Следовательно, \[r_{min} = \frac{b}{\sqrt2}\left[1 + \sqrt{1 - \frac{\alpha Q^2}{4\pi^2\varepsilon_0^2mv_0^2b^4}}\right]^{1/2}. \tag{12}\]

5. Спиральная траектория возникает, когда (16) мнимое (потому что нет минимального расстояния сближения). \(r_{min}\) вещественно при условии \[1 \ge \frac{\alpha Q^2}{4\pi^2\varepsilon_0^2mv_0^2b^4},\qquad b \ge b_0 = \left(\frac{\alpha Q^2}{4\pi^2\varepsilon_0^2mv_0^2}\right)^{1/4}. \tag{13}\]

При \(b < b_0 = \left(\dfrac{\alpha Q^2}{4\pi^2\varepsilon_0^2mv_0^2}\right)^{1/4}\) ион столкнётся с атомом. Следовательно, атом представляет для иона площадь поперечного сечения \(A\): \[A = \pi b_0^2 = \pi\left(\frac{\alpha Q^2}{4\pi^2\varepsilon_0^2mv_0^2}\right)^{1/2}. \tag{14}\]