Движение без проскальзывания

Пока трения недостаточно для проскальзывания, доска и брусок движутся вместе; условие начала проскальзывания — равенство сил трения и пружины в нужном предельном значении. Систему, движущуюся без проскальзывания, можно рассматривать как колебательную с циклической частотой \(\omega^2 = k/(m_1 + m_2 + M)\).

Применим второй закон Ньютона для груза, доски и бруска: \[T - F_{\text{тр}} = m_1 a_1, \qquad Mg - T = M a_1, \qquad F_{\text{тр}} - kx = m_2 a_2.\] Здесь \(T\) — сила натяжения нити, \(F_{\text{тр}}\) — сила трения, \(x\) — удлинение пружины. Пока \(F_{\text{тр}} < \mu m_2 g\), проскальзывания не будет. Искомый путь \(L\) найдём из условия \(a_1 = a_2\), или иначе: \[\frac{Mg - \mu m_2 g}{m_1 + M} = \frac{\mu m_2 g - kx}{m_2}.\] Отсюда \[L = \frac{g\,m_2}{k\,(m_1 + M)}\bigl(\mu(m_1 + m_2 + M) - M\bigr).\] Если \(\mu < \dfrac{M}{m_1 + m_2 + M} = \mu_{\min}\), проскальзывание начинается сразу, то есть \(L = 0\).

При достаточно большом коэффициенте трения \(\mu\) система, предоставленная самой себе, начнёт совершать колебательное движение с амплитудой \(A = Mg/k\). Максимальное растяжение пружины равно \(2A\). Тогда из условия \(L_{\max} = 2A\) определим минимальный коэффициент трения \(\mu_0\), при котором проскальзывания не будет: \[\mu_0 = \frac{M(2m_1 + m_2 + 2M)}{m_2(m_1 + m_2 + M)}.\] Итак, если \(\mu > \mu_0\), то \(L \to \infty\). Если \(\mu_{\min} < \mu < \mu_0\), то \(L = \dfrac{g m_2}{k(m_1 + M)}\bigl(\mu(m_1 + m_2 + M) - M\bigr)\). Если \(\mu < \mu_{\min}\), то \(L = 0\).

Теперь вычислим время движения бруска до начала проскальзывания. При этом система движется по гармоническому закону: \[L = \frac{Mg}{k}\bigl(1 - \cos\omega t\bigr), \quad \text{где}\quad \omega^2 = \frac{k}{m_1 + m_2 + M}.\] Отсюда \[t = \sqrt{\frac{m_1 + m_2 + M}{k}}\,\arccos\!\left(1 - \frac{kL}{Mg}\right)\] при \(\mu \le \mu_0\), а при \(\mu > \mu_0\) проскальзывание никогда не начнётся.