Два бруска у стены

После удара верхнего бруска о стену его скорость изменится на противоположную по направлению, сохранив свой модуль, а скорость нижнего бруска не изменится. После этого бруски начнут двигаться навстречу друг другу с одинаковыми по модулю начальными скоростями и равными по модулю, но противоположно направленными ускорениями. Из-за этого скорости брусков будут уменьшаться, всё время оставаясь равными друг другу. В результате нижний брусок либо не достигнет стены, либо всё же ударится о неё, имея некоторую скорость \(u\). В первом случае оба бруска останутся стоять неподвижно на некотором расстоянии от стены. Во втором случае нижний брусок, ударившись о стену, поменяет направление своей скорости на противоположное, в результате чего проскальзывание между брусками прекратится, и оба бруска продолжат движение со скоростью, равной \(u\), в направлении от стены. Рассмотрим отдельно оба описанных случая.

Поместим начало координатной оси \(X\) в угол между стеной и полом и направим её в сторону первоначального движения брусков (см. рис. 1.167).

Ясно, что после первого удара сила трения между брусками \(F_{\text{тр}} = \mu Mg\), а ускорения нижнего и верхнего брусков по модулю равны \(F_{\text{тр}}/M = \mu g\). Тогда закон движения передней грани нижнего бруска имеет вид: \(x(t) = -a + v_0t - \dfrac{\mu gt^2}{2}\), а его скорость изменяется по закону \(v(t) = v_0 - \mu gt\). Время отсчитывается от момента удара верхнего бруска о стену. Найдём ограничение на величину скорости \(v_0\), при которой нижний брусок не достигнет стены, то есть координаты \(x = 0\). Оно следует из неравенства \(x(t) < 0\). Решая его, находим, что дискриминант квадратного трёхчлена, содержащегося в неравенстве, отрицателен при \(v_0^2 < 2a\mu g\). Это и есть искомое ограничение. Время, через которое нижний брусок остановится, можно определить, приравняв его скорость \(v(t)\) нулю: \(t_1 = v_0/(\mu g)\). Значит, при \(v_0^2 < 2a\mu g\) оба бруска в конце концов остановятся. Это — первый ответ задачи.

Пусть теперь \(v_0^2 \geqslant 2a\mu g\). Приравняв нулю \(x(t)\), найдём, через какое время \(t_2\) нижний брусок стукнется о стену: \[t_2^{(1,2)} = \dfrac{v_0}{\mu g} \pm \dfrac{\sqrt{v_0^2 - 2a\mu g}}{\mu g} = t_1 \pm \dfrac{\sqrt{v_0^2 - 2a\mu g}}{\mu g}.\] Для того, чтобы нижний брусок стукнулся о стену, нужно, чтобы выполнялось условие \(t_2 < t_1\) (иначе брусок остановится раньше, чем доедет до стены). Поэтому один из ответов для \(t_2\) нужно отбросить, и остаётся только решение со знаком «минус» перед корнем: \[t_2 = \dfrac{v_0}{\mu g} - \dfrac{\sqrt{v_0^2 - 2a\mu g}}{\mu g}.\] Теперь можно найти скорость, которую будут иметь оба бруска после окончания их взаимодействия со стеной: \[u = v_0 - \mu gt_2 = \sqrt{v_0^2 - 2a\mu g}.\]