Коэффициент трения по пройденному пути

Из второго закона Ньютона следует, что тело будет двигаться до остановки равнозамедленно с ускорением, равным по величине \(\mu g\), где \(\mu\) — искомый коэффициент трения. Понятно, что при решении задачи следует рассматривать два различных случая:

1) тело остановится в течение первых \(t\) секунд;

2) тело в момент времени \(t\) будет продолжать двигаться.

Рассмотрим эти случаи. Прежде всего найдём время \(\tau\), через которое тело должно остановиться. Проекция скорости тела на направление его движения изменяется по закону: \(v_{\text{т}} = v - \mu gt\), откуда для момента остановки \(\tau\) имеем: \(\tau = \dfrac{v}{\mu g}\).

Запишем закон движения тела в проекции на ту же ось для каждого из случаев 1) и 2):

1) \(t > \tau\). В этом случае \[S = v\tau - \dfrac{\mu g\tau^2}{2} = \dfrac{v^2}{2\mu g}.\] Отсюда \(\mu = \dfrac{v^2}{2gS}\), а условие \(t > \tau\), с учётом выражения для \(\tau\), переписывается в виде \(S < vt/2\).

2) \(t \leqslant \tau\). В этом случае \[S = vt - \dfrac{\mu gt^2}{2}.\] Отсюда \(\mu = \dfrac{2(vt - S)}{gt^2}\), а условие \(t \leqslant \tau\) переписывается в виде \(S \geqslant vt/2\).

Так как коэффициент трения положителен, то \(S < vt\). Учитывая всё вышесказанное, запишем окончательный ответ: \[\mu = \dfrac{v^2}{2gS}\quad\text{при}\quad 0 < S < \dfrac{vt}{2};\] \[\mu = \dfrac{2(vt - S)}{gt^2}\quad\text{при}\quad\dfrac{vt}{2} \leqslant S < vt.\] При \(S > vt\) задача решений не имеет — такой случай невозможен.