Лист бумаги на тележке

Силы трения между листом и каждым из тел не превосходят \(\mu mg\). Переберите режимы: лист скользит по обоим телам, лист едет вместе с грузом, лист едет вместе с тележкой, всё движется как одно целое.

Рассмотрим силы, действующие на каждое из тел по вертикали. На груз действуют сила тяжести \(mg\) и сила реакции опоры со стороны бумаги, также равная по величине \(mg\). На лист бумаги действуют силы реакции со стороны груза и тележки, а действующей на него силой тяжести можно пренебречь, так как \(m_0 \ll m < M\).

На тележку действует сила давления со стороны листа, равная \(mg\), и такая же по величине сила со стороны стола.

Следовательно, как сила трения \(F_{\text{тр1}}\) между листом и грузом, так и сила трения \(F_{\text{тр2}}\) между листом и тележкой не могут превосходить \(\mu mg\). При этом каждая из сил трения равна \(\mu mg\) только при скольжении поверхностей.

Запишем уравнения движения, из которых можно найти ускорения груза \(a_1\), листа \(a_0\) и тележки \(a_2\), в проекциях на горизонтальную ось, направленную вдоль силы \(F\): \[ma_1 = F_{\text{тр1}};\quad m_0a_0 = F - F_{\text{тр1}} - F_{\text{тр2}};\quad Ma_2 = F_{\text{тр2}}.\] Рассмотрим четыре возможных случая.

1. Лист скользит относительно груза и тележки. В этом случае силы трения максимальны; данный случай возможен только при \[F > 2\mu mg.\] 2. Лист скользит вместе с грузом относительно тележки. В этом случае имеем: \[F_{\text{тр2}} = \mu mg,\quad F_{\text{тр1}} \approx F - F_{\text{тр2}} = F - \mu mg,\quad a_2 = \dfrac{\mu mg}{M},\quad a_1 = \dfrac{F}{m} - \mu g.\] Данный случай возможен при \[F_{\text{тр1}} < \mu mg\quad\text{и}\quad a_1 > a_2,\] или при \[\mu mg\left(1 + \dfrac{m}{M}\right) < F < 2\mu mg.\] 3. Лист скользит вместе с тележкой относительно груза. В этом случае \(F_{\text{тр1}} = \mu mg\), поэтому ввиду того, что \(M > m\), должно быть \(a_2 < a_1\). Поэтому при числовых данных, приведённых в условии, данный случай невозможен.

4. Лист движется вместе с тележкой и грузом с ускорением \(a_0 = a_1 = a_2 = F/(M + m)\). При этом \[F_{\text{тр1}} = \dfrac{m}{M + m}F,\quad F_{\text{тр2}} = \dfrac{M}{M + m}F.\] Этот случай возможен при \(F_{\text{тр2}} < \mu mg\), то есть при \(F < \mu mg\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)\).

В итоге получаем следующий ответ.

(а) Груз будет неподвижен относительно листа при \[\mu mg\left(1 + \dfrac{m}{M}\right) < F < 2\mu mg\quad\text{то есть при}\quad 9{,}33\text{ Н} < F < 14\text{ Н}.\] (б) Тележка будет неподвижна относительно листа при \[F < \mu mg\left(1 + \dfrac{m}{M}\right) = 9{,}33\text{ Н}.\] При \(F = 3\) Н реализуется случай 4, и ускорение листа \[a_0 = a_1 = a_2 = 0{,}75\text{ м/с}^2;\] при \(F = 10\) Н реализуется случай 2, и ускорение листа \[a_0 = a_1 = \dfrac{F}{m} - \mu g = 3\text{ м/с}^2.\]