Параллелепипед из резисторов

Введите токи через рёбра каждого из трёх типов и запишите закон сохранения заряда для граней, примыкающих к входной вершине, а также второе правило Кирхгофа для контуров-граней.

Обозначим через \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\), \(I_1'\), \(I_2'\) и \(I_3'\) токи через соответствующие резисторы, через \(I\) — полный ток в цепи. Запишем закон сохранения электрического заряда для каждой из трёх граней, примыкающих к вершине \(A\), в которую втекает ток. Например, в грань \(ABB'A'\) втекает ток \(I\) и вытекают 4 тока: 2 тока \(I_1\) из вершин \(A\) и \(B'\) и 2 тока \(I_1'\) из вершин \(A'\) и \(B\). Таким образом, получаем: \[\begin{array}{ll} I = 2I_1 + 2I_1' & \text{(грань }ABB'A'\text{);}\\ I = 2I_2 + 2I_2' & \text{(грань }ADD'A'\text{);}\\ I = 2I_3 + 2I_3' & \text{(грань }ABCD\text{).} \end{array}\] Поэтому удобно переобозначить токи: \[I_1 = \dfrac{I}{4} + J_1,\quad I_2 = \dfrac{I}{4} + J_2,\quad I_3 = \dfrac{I}{4} + J_3;\] \[I_1' = \dfrac{I}{4} - J_1,\quad I_2' = \dfrac{I}{4} - J_2,\quad I_3' = \dfrac{I}{4} - J_3.\]

Запишем для каждого из контуров \(ABB'A'\), \(ADD'A'\) и \(ABCD\) второе правило Кирхгофа. Для контура \(ABCD\) имеем: \[\left(\dfrac{I}{4} + J_1\right)R_1 + \left(\dfrac{I}{4} - J_2\right)R_2 = \left(\dfrac{I}{4} - J_1\right)R_1 + \left(\dfrac{I}{4} + J_2\right)R_2,\] откуда \(J_1R_1 = J_2R_2\). Рассматривая аналогично другие контуры, получаем: \(J_1R_1 = J_2R_2 = J_3R_3 = U_0\).

Следовательно, все токи выражаются через один неизвестный параметр \(U_0\): \[I_1 = \dfrac{I}{4} + \dfrac{U_0}{R_1},\quad I_2 = \dfrac{I}{4} + \dfrac{U_0}{R_2},\quad I_3 = \dfrac{I}{4} + \dfrac{U_0}{R_3};\] \[I_1' = \dfrac{I}{4} - \dfrac{U_0}{R_1},\quad I_2' = \dfrac{I}{4} - \dfrac{U_0}{R_2},\quad I_3' = \dfrac{I}{4} - \dfrac{U_0}{R_3}.\] Параметр \(U_0\) можно определить из закона сохранения электрического заряда в точке \(A\): \[I_1 + I_2 + I_3 = I,\quad\text{откуда}\quad U_0\left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}\right) = \dfrac{I}{4}.\] Следовательно, напряжение между точками \(A\) и \(C'\) электрической цепи выражается через ток следующим образом: \[U = U_{AC'} = I_1R_1 + I_2R_2 + I_3'R_3 = \dfrac{I}{4}(R_1 + R_2 + R_3) + U_0 = \dfrac{I}{4}\left(R_1 + R_2 + R_3 + \dfrac{1}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}}\right),\] а искомое сопротивление электрической цепи равно \[R = \dfrac{1}{4}\left(R_1 + R_2 + R_3 + \dfrac{1}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}}\right).\]