Шарик в сжимающейся сфере

При отражении от движущейся стенки нормальная составляющая скорости меняется на \(2u\). Найдите изменение скорости за одно соударение и изменение радиуса за время между соударениями — и сравните.

Пусть в момент времени, когда радиус сферы равен \(R\), шарик движется со скоростью \(v\), падая на поверхность под углом \(\alpha\) к нормали, а сфера сжимается со скоростью \(u \ll v\). После соударения составляющая скорости шарика, параллельная стенке, остаётся неизменной, а нормальная составляющая изменяется на величину \(2u\). Следовательно, изменение кинетической энергии шарика \[\Delta W = \dfrac{m}{2}\left((v\cos\alpha + 2u)^2 - (v\cos\alpha)^2\right) \approx 2mvu\cos\alpha\] (слагаемым, пропорциональным \(u^2\), можно пренебречь ввиду его малости), а изменение величины скорости шарика равно \[\Delta v = \dfrac{\Delta W}{mv} = 2u\cos\alpha.\] За промежуток времени между соударениями \(\Delta t = (2R\cos\alpha)/v\) радиус сферы изменяется на величину \(\Delta R = -u\Delta t = -(2Ru\cos\alpha)/v\). Следовательно, \(\Delta v/\Delta R = -v/R\), и \(\Delta(vR) = 0\), то есть \(vR = \text{const}\). Отсюда \(v_1R_1 = v_0R_0\).

Во время каждого столкновении сохраняется величина \(v\sin\alpha = \text{const}\), при этом угол \(\alpha\) уменьшается таким образом, что \(\Delta v\cdot\sin\alpha + v\cdot\Delta(\sin\alpha) = 0\) и \(\Delta(\sin\alpha) = -\dfrac{\Delta v}{v}\sin\alpha\). Однако за время движения шарика между столкновениями радиус сферы уменьшается, поэтому по теореме синусов \(\sin\alpha\) увеличивается обратно пропорционально \(R\). Поэтому на стадии движения шарика между столкновениями \(\Delta\sin\alpha = -\dfrac{\Delta R}{R}\sin\alpha\). Следовательно, суммарное изменение угла \(\alpha\) во время столкновения и за время пролёта между столкновениями равно нулю.

Таким образом, мы приходим к ответу: \[v_1 = v_0\dfrac{R_0}{R_1},\quad\alpha_1 = \alpha_0.\]