На ровном гладком полу установлены два шеста высоты \(H\) с небольшими кольцами наверху. Расстояние между кольцами \(d\) (рис. 3), а их плоскости перпендикулярны линии, соединяющей вершины шестов. По полу может перемещаться маленький робот, функция которого — запускать небольшие мячики с фиксированной скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha = 45^\circ\) к горизонту. Скорость \(v_0\) подобрана так, что \(v_0^2 > 4gH\). При каком минимальном \(d \ne 0\) робот может выполнить бросок так, чтобы мячик пролетел сквозь оба кольца? Удар мяча о пол считайте абсолютно упругим. Отдельно рассмотрите случай \(gH \ll v_0^2\).

При \(\dfrac{gH}{v_0^2} \leqslant \dfrac{3}{16}\): \(d = \dfrac{v_0^2}{g}\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{4gH}{v_0^2}}\right)\); при \(\dfrac{gH}{v_0^2} > \dfrac{3}{16}\): \(d = \dfrac{v_0^2}{g}\sqrt{1 - \dfrac{4gH}{v_0^2}}\). При \(gH \ll v_0^2\): \(d \approx 2H\).

Мячик сквозь кольца — ВсОШ 2012/13, 9 кл., задача 4

Мячик сквозь кольца
ВсОШ 2012/13, 9 кл.
6/10
На ровном гладком полу установлены два шеста высоты \(H\) с небольшими кольцами наверху. Расстояние между кольцами \(d\) (рис. 3), а их плоскости перпендикулярны линии, соединяющей вершины шестов. По полу может перемещаться маленький робот, функция которого — запускать небольшие мячики с фиксированной скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha = 45^\circ\) к горизонту. Скорость \(v_0\) подобрана так, что \(v_0^2 > 4gH\). При каком минимальном \(d \ne 0\) робот может выполнить бросок так, чтобы мячик пролетел сквозь оба кольца? Удар мяча о пол считайте абсолютно упругим. Отдельно рассмотрите случай \(gH \ll v_0^2\).

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Траектория мячика после упругих отскоков — совокупность частей парабол. Расстояние \(d\) минимально, когда мячик пролетает через кольца в соседних точках траектории.
Ответ
При \(\dfrac{gH}{v_0^2} \leqslant \dfrac{3}{16}\): \(d = \dfrac{v_0^2}{g}\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{4gH}{v_0^2}}\right)\); при \(\dfrac{gH}{v_0^2} > \dfrac{3}{16}\): \(d = \dfrac{v_0^2}{g}\sqrt{1 - \dfrac{4gH}{v_0^2}}\). При \(gH \ll v_0^2\): \(d \approx 2H\).
Решение
Поскольку удары мячика о пол абсолютно упругие и трение отсутствует, траектория мячика — совокупность частей парабол (рис. 12). Уравнения движения на участке траектории \(ABCD\) в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси: \[\begin{cases} x = (v_0\cos\alpha)\,t, \\ y = (v_0\sin\alpha)\,t - \dfrac{gt^2}{2}. \end{cases}\] Выразив \(y\) через \(x\), получим уравнение траектории: \[y(x) = x\,\mathrm{tg}\,\alpha - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha} = x - \frac{gx^2}{v_0^2}.\]

Расстояние \(d\) будет минимально, если шарик пролетит через кольца либо в точках траектории \(B\) и \(C\), либо в точках \(C\) и \(E\). Значит, \(d\) — это длина меньшего из отрезков \(BC\) и \(CE\). Для нахождения \(x\)-координат точек \(B\) и \(C\) приравняем правую часть уравнения траектории к \(H\). Решив получившееся квадратное уравнение, найдём: \[x_{B,C} = \frac{v_0^2}{2g}\left(1 \mp \sqrt{1 - \beta}\right), \qquad \text{где}\quad \beta = \frac{4gH}{v_0^2} < 1,\] откуда \[BC = x_C - x_B = \frac{v_0^2}{g}\sqrt{1 - \beta}, \qquad CE = 2x_B = \frac{v_0^2}{g}\left(1 - \sqrt{1 - \beta}\right).\] Случай, когда \(BC < CE\), реализуется при \(\sqrt{1-\beta} < 1/2\), то есть при \(\beta > 3/4\). Если \(\beta \leqslant 3/4\), то \(d = CE\). Окончательный ответ: \[d = \begin{cases} CE = \dfrac{v_0^2}{g}\left(1 - \sqrt{1 - \dfrac{4gH}{v_0^2}}\right), & \dfrac{gH}{v_0^2} \leqslant \dfrac{3}{16}; \\[2ex] BC = \dfrac{v_0^2}{g}\sqrt{1 - \dfrac{4gH}{v_0^2}}, & \dfrac{gH}{v_0^2} > \dfrac{3}{16}. \end{cases}\] В случае, когда \(gH \ll v_0^2\), то есть \(\beta \ll 1\), \[d = \frac{v_0^2}{g}\left(1 - \sqrt{1-\beta}\right) = \frac{v_0^2}{g}\, \frac{1 - 1 + \beta}{1 + \sqrt{1-\beta}} \approx \frac{v_0^2}{2g}\,\beta = 2H.\] Тот же ответ может быть получен из простых геометрических соображений: следует заменить рассматриваемый участок траектории \(CDE\) двумя отрезками прямых (рис. 13).

Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Мячик сквозь кольца

Мячик сквозь кольца

Похожие задачи