Три груза и нить

Сила натяжения нити везде одинакова. Запишите уравнения движения каждого груза (грузы 2 и 3 по горизонтали движутся вместе) и условие нерастяжимости нити.

При условиях задачи сила натяжения нити везде одинакова и равна \(T\). Груз 1 будет двигаться по вертикали с ускорением \(a_1\), груз 3 — по горизонтали с ускорением \(a_3\), груз 2 — по вертикали с ускорением \(a_{2y}\) и вместе с грузом 3 по горизонтали с ускорением \(a_{2x} = a_3\).

Введём систему координат, как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекциях на оси \(X\) и \(Y\): \[\begin{array}{ll} ma_1 = mg - T & \text{(груз 1);}\\ ma_{2y} = mg - T & \text{(груз 2);}\\ 2ma_{2x} = -T & \text{(грузы 2 и 3).} \end{array}\] При написании последнего уравнения мы учли, что силы давления грузов 2 и 3 друг на друга — внутренние для системы этих грузов, так что они движутся только под действием силы натяжения нити \(T\).

Из условия нерастяжимости нити \(y_1 + y_2 + x_2 = \text{const}\) следует уравнение кинематической связи \(a_1 + a_{2y} + a_{2x} = 0\).

Из двух первых уравнений полученной системы следует, что \(a_1 = a_{2y} = g - \dfrac{T}{m}\), а из третьего — что \(a_{2x} = -\dfrac{T}{2m}\). Подставляя эти выражения в уравнение кинематической связи, получаем: \[g - \dfrac{T}{m} + g - \dfrac{T}{m} - \dfrac{T}{2m} = 0,\quad\text{или}\quad T = \dfrac{4}{5}mg.\] Следовательно, \(a_1 = a_{2y} = g/5\) и \(a_{2x} = a_3 = -2g/5\). Отсюда находим величину ускорения второго груза: \(a_2 = \sqrt{a_{2x}^2 + a_{2y}^2} = g/\sqrt{5}\). Вектор ускорения второго груза направлен вниз под углом \(\varphi = \operatorname{arctg}\left|\dfrac{a_{2y}}{a_{2x}}\right| = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{2}\) к горизонту.