Цикл из двух изотерм и двух изохор

Работа газа в изотермическом процессе пропорциональна температуре (при одном и том же отношении объёмов). Отношение работ на двух изотермах равно отношению температур.

Количество теплоты \(Q_1\), сообщаемое газу при изохорическом нагревании от температуры \(T_{\min}\), которую газ имел на нижней изотерме (см. рисунок), до максимальной температуры \(T_{\max}\) на верхней изотерме, идёт на изменение его внутренней энергии: \(Q_1 = (3/2)\nu R(T_{\max} - T_{\min})\). Следовательно, \[T_{\max} = T_{\min} + \dfrac{Q_1}{(3/2)\nu R}.\]

Заметим, что величины работ \(A_2\) и \(A_4\), совершаемых газом на изотермических стадиях, относятся, как площади криволинейных трапеций (см. рисунок) под гиперболами, описываемыми следующими уравнениями: \(p = \nu RT_{\max}/V\) (верхняя изотерма) и \(p = \nu RT_{\min}/V\) (нижняя изотерма). Поскольку при изменении объёма на малую величину \(\Delta V\) газ совершает работу \(\Delta A = (\nu R\Delta V/V)T\), то величина работы, совершённой в изотермическом процессе, пропорциональна температуре \(T\), которую имеет газ в этом процессе. Поэтому \(A_2/|A_4| = T_{\max}/T_{\min}\).

Таким образом, можно найти работы, совершаемые газом на каждой из стадий данного циклического процесса.

1) Изохорическое нагревание: \(A_1 = 0\).

2) Изотермическое расширение: \(A_2 = Q_2\), так как внутренняя энергия газа не изменяется.

3) Изохорическое охлаждение: \(A_3 = 0\).

4) Изотермическое сжатие: \[A_4 = -A_2\dfrac{T_{\min}}{T_{\max}} = -Q_2\dfrac{(3/2)\nu RT_{\min}}{(3/2)\nu RT_{\min} + Q_1}.\] При изохорическом охлаждении (стадия 3) газ отдаёт количество теплоты \(|Q_3| = (3/2)\nu R(T_{\max} - T_{\min}) = Q_1\), а при изотермическом сжатии (стадия 4) — количество теплоты \[|Q_4| = |A_4| = Q_2\dfrac{(3/2)\nu RT_{\min}}{(3/2)\nu RT_{\min} + Q_1}.\] КПД \(\eta\) теплового двигателя, работающего по рассматриваемому циклу, равен отношению совершённой работы \[A = A_2 + A_4 = A_2\left(1 - \dfrac{T_{\min}}{T_{\max}}\right) = Q_2\left(1 - \dfrac{T_{\min}}{T_{\max}}\right).\] к полученному количеству теплоты \(Q_1 + Q_2\). Следовательно, \[\eta = \dfrac{Q_1Q_2}{(Q_1 + Q_2)\left(\dfrac{3}{2}\nu RT_{\min} + Q_1\right)}.\]