Прыгающий шарик

Между моментом броска шарика и его первым ударом о плоскость пройдёт время \(t_0 = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}\). После удара горизонтальная составляющая скорости шарика не изменится, а вертикальная станет равна \(Rv\). Значит, между первым и вторым ударами шарика о плоскость пройдёт время \(t_1 = \dfrac{2Rv\sin\alpha}{g}\). Рассуждая аналогично, получим, что между \(n\)-м и \((n + 1)\)-м ударами пройдёт время \(t_n = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}R^n\).

Полное время \(T\), в течение которого шарик будет продолжать прыгать, может быть найдено как сумма промежутков времени \(t_n\): \[T = \sum_{n=0}^{\infty}t_n = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}\sum_{n=0}^{\infty}R^n = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}\cdot\dfrac{1}{1 - R}\] (здесь мы использовали формулу для суммы геометрической прогрессии). Так как горизонтальная составляющая скорости шарика во время процесса не изменяется, то для расстояния, которое пропрыгает шарик, получаем: \(S = v\cos\alpha\,T = \dfrac{v^2\sin2\alpha}{g(1 - R)} \approx 10\) м.

Отметим, что в этой задаче рассмотрен простой пример бесконечного процесса, занимающего конечный промежуток времени.