Бесконечные цепочки резисторов

Начнём решение с рассмотрения цепи, изображённой на рисунке в условии слева. Разобьём исходную цепь на две последовательно соединённые вспомогательные цепи с неизвестными сопротивлениями \(R_1\) и \(R_2\) (см. рис. 3.52.1) и рассмотрим каждую вспомогательную цепь по отдельности.

Первая вспомогательная цепь представляет собой последовательность узлов, типа изображённых на рисунке 3.52.2.

Если у этой цепи отбросить первый узел, то получится новая цепь, во всём подобная прежней (обе цепи бесконечные!), но состоящая из резисторов с вдвое меньшими номиналами. Её сопротивление будет равно \(R_1/2\). Действительно, так как номиналы всех резисторов, из которых состоит цепь, пропорциональны \(R\), то и полное сопротивление цепи пропорционально \(R\). Значит, если номиналы всех резисторов уменьшатся вдвое, то и полное сопротивление также уменьшится вдвое. В итоге для первой вспомогательной цепи можно нарисовать эквивалентную схему (см. рис. 3.52.3), из которой следует уравнение:

\[R_1 = R + \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{R_1/2}},\] откуда \(R_1 = \sqrt2R\).

Вторая вспомогательная цепь состоит из бесконечного числа параллельно соединённых резисторов, причём номинал каждого следующего резистора вдвое больше номинала предыдущего. Учитывая это, для сопротивления \(R_2\) имеем: \[R_2 = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{2R} + \dfrac{1}{4R} + \ldots} = \dfrac{R}{\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}.\] Сумма, стоящая в знаменателе, представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии. По известной формуле она равна \[\sum_{n=0}^{\infty}q^n = \dfrac{1}{1 - q}.\] С учётом этого \(R_2 = R/2\).

Этот же результат можно получить и способом, который применялся для нахождения сопротивления \(R_1\). Отбросим у второй вспомогательной цепи первый резистор \(R\). Тогда получится новая цепь, подобная прежней, но имеющая вдвое большее сопротивление. В итоге получаем эквивалентную схему, изображённую на рисунке 3.52.4, из которой следует уравнение:

\[R_2 = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{2R_2}},\] приводящее к прежнему результату для \(R_2\).

Так как рассмотренные вспомогательные цепи соединены последовательно, окончательно для цепи, изображённой на рисунке в условии слева, имеем: \[R_{ab} = R_1 + R_2 = \left(\dfrac{1}{2} + \sqrt2\right)R.\] Теперь рассмотрим цепь, изображённую на рисунке в условии справа. Для решения задачи, аналогично предыдущему случаю, вновь разобьём исходную цепь на две последовательно соединённые вспомогательные цепи с неизвестными сопротивлениями \(R_1\) и \(R_3\) (см. рис. 3.52.5).

Сопротивление первой вспомогательной цепи \(R_1\) было найдено при рассмотрении предыдущего случая. Сопротивление же второй вспомогательной цепи может быть найдено по формуле: \[R_3 = \dfrac{1}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{2R} + \dfrac{1}{3R} + \ldots} = \dfrac{R}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}}.\] Знаменатель этой формулы представляет собой сумму так называемого гармонического ряда, который расходится. Таким образом, сумма в знаменателе равна бесконечности, поэтому \(R_3 = 0\). Учитывая это, для цепи, изображённой на рисунке в условии справа, окончательно получаем: \[R_{ab} = R_1 + R_3 = \sqrt2R.\]