Остановка одного из шаров

Рассмотрим сначала случай нелобового абсолютно упругого удара шара массой \(m\), движущегося со скоростью \(\vec v\), о такой же покоящийся. Из законов сохранения импульса и энергии имеем: \[m\vec v = m\vec v_1 + m\vec v_2,\quad \dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{mv_2^2}{2},\] или \[\vec v = \vec v_1 + \vec v_2,\quad v^2 = v_1^2 + v_2^2.\] Из первого соотношения следует, что векторы \(\vec v\), \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) образуют треугольник, а из второго соотношения — что этот треугольник прямоугольный, причём векторы \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) являются его катетами. Значит, действительно, после такого удара шары разлетаются под углом \(90^\circ\). Этот угол не зависит от прицельного расстояния \(\rho\), от него зависят только конкретные направления разлёта шаров.

Так как написанные уравнения можно прочитать и справа налево (законы упругого удара обратимы!), то при столкновении шаров, движущихся со скоростями \(\vec u_1 = -\vec v_1\) и \(\vec u_2 = -\vec v_2\), один из шаров остановится, а второй будет двигаться со скоростью \(\vec u = -\vec v\), если только расположение шаров в момент удара будет таким же, как в рассмотренном ранее случае. Для того, чтобы проводить рассуждения дальше, заметим, что при абсолютно упругом ударе потерь на трение нет, и поэтому тангенциальные составляющие скоростей шаров при нелобовом ударе не изменяются, а нормальными составляющими они обмениваются. Отсюда следует, что для остановки одного из шаров, кроме всего прочего, должно выполняться следующее условие: линия, проходящая через центры обоих шаров, должна при ударе совпадать с направлением скорости одного из них. Действительно, пусть эта линия совпадает с направлением скорости \(\vec u_2\) второго шара (см. рис. 1.109). Тогда у второго шара при ударе отсутствует тангенциальная составляющая скорости, а у первого — нормальная. При ударе второй шар обменивается нормальной составляющей скорости с первым и останавливается. Первый же шар приобретает нормальную составляющую скорости и сохраняет тангенциальную, в результате чего продолжает двигаться со скоростью \(\vec u = \vec u_1 + \vec u_2\).

Отметим, ещё раз, что для остановки одного из шаров при абсолютно упругом нелобовом ударе одного условия \(\vec u_1 \perp \vec u_2\) недостаточно! Необходимо ещё выполнение условия, о котором шла речь выше.