Звезда, не выпускающая свет

Для получения оценки будем считать, что свет состоит из частиц — фотонов, которые движутся со скоростью \(c = 3\cdot10^8\) м/с, и будем использовать формулы классической механики (хотя на самом деле этого делать нельзя). Внешний наблюдатель не увидит испущенный с поверхности звезды свет в том случае, если фотон не сможет преодолеть гравитационное притяжение звезды, то есть если скорость фотона \(c\) будет меньше второй космической скорости. Вторая космическая скорость \(v_{2\text{к}}\) может быть найдена из закона сохранения механической энергии: \[\dfrac{mv_{2\text{к}}^2}{2} = G\dfrac{mM_{\min}}{R}.\qquad(1)\] Здесь \(m\) — масса фотона, \(M\) — масса звезды, \(R\) — её радиус, \(G\) — гравитационная постоянная. Полагая \(v_{2\text{к}} = c\), получаем: \[M_{\min} = \dfrac{Rc^2}{2G}.\] Чтобы получить представление о найденном ответе, сделаем численные оценки. Предположим, что звезда, о которой идёт речь в условии задачи, подобна нашему Солнцу. Радиус Солнца равен \(R_\odot \approx 7\cdot10^8\) м. Значит, для того, чтобы свет, испускаемый такой звездой, перестал быть виден внешнему наблюдателю, необходимо, чтобы она имела массу \(M = \dfrac{R_\odot c^2}{2G} \approx 4{,}7\cdot10^{35}\) кг. При этом звезда будет иметь плотность \(\rho = \dfrac{3c^2}{8\pi GR_\odot^2} \approx 3{,}3\cdot10^8\) кг/м\(^3\).

Для сравнения приведём массу Солнца — \(M_\odot \approx 2\cdot10^{30}\) кг и среднюю плотность вещества Земли — она составляет \(\rho_\oplus \sim 5{,}5\cdot10^3\) кг/м\(^3\).

Для получения оценки можно также считать, что вылетевший фотон выходит на «околозвёздную» орбиту и поэтому не достигает внешнего наблюдателя. В этом случае получается, что скорость фотона \(c\) равна первой космической скорости, которая в \(\sqrt2\) раз меньше второй космической скорости. Тогда для \(M_{\min}\) получится вдвое большая величина. Заметим, что в исходную формулу (1) входит масса фотона, хотя фотон не имеет массы покоя. Однако на ответ это не влияет, так как оценки делаются формальным способом, и масса фотона всюду сокращается. Далее, возникает вопрос: насколько полученная оценка близка к верному ответу, который может быть получен средствами общей теории относительности? Ответ неожиданный: полученная формальным способом оценка чудесным образом совпадает с точным ответом!