Скольжение груза по доске

Сначала найдите силу трения, необходимую для движения без проскальзывания, и сравните её с максимальной силой трения \(\mu m_1 g\). Для пункта 3 используйте относительное ускорение груза и доски.

Обозначим силу натяжения нити через \(T\). Запишем второй закон Ньютона для всех трёх тел: \[m_1 a_1 = T - F_{\text{тр}}, \qquad m_2 a_2 = F_{\text{тр}}, \qquad M a_1 = Mg - T.\] Здесь \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения груза и доски соответственно. Из этих уравнений получим: \[a_1 = \frac{Mg - F_{\text{тр}}}{m_1 + M}, \qquad a_2 = \frac{F_{\text{тр}}}{m_2}.\] При движении без проскальзывания \(a_1 = a_2\): \[\frac{Mg - F_{\text{тр}}}{m_1 + M} = \frac{F_{\text{тр}}}{m_2}, \quad\text{откуда}\quad F_{\text{тр}} = \frac{M m_2}{m_1 + m_2 + M}\,g.\] При этом сила трения по модулю не превышает значения \(\mu m_1 g\). Следовательно, для движения без проскальзывания необходимо \[\frac{M m_2}{m_1 + m_2 + M}\,g \leq \mu m_1 g, \quad\text{откуда}\quad \mu_{\min} = \frac{M m_2}{m_1 (m_1 + m_2 + M)}.\]

2. Подставляя числовые значения масс всех грузов, получим \(\mu_{\min} = 1/2\). При \(\mu \geq \mu_{\min}\) скольжения нет, а при \(\mu < \mu_{\min}\) груз будет скользить по доске.

3. Пусть теперь \(\mu = \mu_{\min}/2 = 1/4\). Тогда \[a_1 = \frac{M - m_1\mu}{m_1 + M}\,g, \qquad a_2 = \frac{m_1}{m_2}\,\mu g.\] Относительное ускорение \[a_{\text{отн}} = a_1 - a_2 = g\left(\frac{M - m_1\mu}{m_1 + M} - \frac{m_1}{m_2}\mu\right) = g/4.\] Время соскальзывания находим из формулы \(L = a_{\text{отн}} t^2/2\): \[t = \sqrt{\frac{2L}{a_{\text{отн}}}} = 0{,}9~\text{с}.\]