Диссоциация

Выразите отношение \(p/\rho\) через температуру и степень диссоциации для каждого цикла. Безразмерное отношение максимальных значений \(p/\rho\) не зависит от масштабных коэффициентов, а наклоны касательных к циклам из начала координат дают эти значения.

Пусть \(\nu\) — число молей \(\text{O}_2\) до диссоциации, \(\alpha\) — часть диссоциированных молекул. Число молей молекулярного кислорода после диссоциации \(\nu_2 = (1 - \alpha)\nu\), число молей атомарного кислорода O \(\nu_1 = 2\alpha\nu\). Запишем уравнения состояния для молекулярного и атомарного кислорода: \[p_{\text{O}_2} V = \nu_2 RT = (1 - \alpha)\nu RT, \qquad p_{\text{O}} V = \nu_1 RT = 2\alpha\nu RT.\] Согласно закону Дальтона \(p = p_{\text{O}_2} + p_{\text{O}}\), откуда \[pV = (1 + \alpha)\nu RT = \frac{m}{\mu_2}RT(1 + \alpha),\] где \(\mu_2\) — молярная масса \(\text{O}_2\). Последнее уравнение можно переписать в виде \[\left(\frac{p}{\rho}\right)_2 = \frac{RT_2}{\mu_2}(1 + \alpha),\] где индекс 2 означает, что это соотношение относится ко второму циклу. Аналогично для первого цикла \[\left(\frac{p}{\rho}\right)_1 = \frac{RT_1}{\mu_2}.\] Отношения \(p/\rho\) связывают с температурой \(T\) в любой точке циклов 1 и 2. В частности, для точек с максимальными температурами \[\left(\frac{p}{\rho}\right)_{1,\max} = \frac{RT_{1,\max}}{\mu_2}, \qquad \left(\frac{p}{\rho}\right)_{2,\max} = \frac{RT_{2,\max}}{\mu_2}(1 + \alpha).\] Величины \((p/\rho)_{1,\max}\) и \((p/\rho)_{2,\max}\) определяем по наклону касательных к циклам 1 и 2, проведённых из начала координат. Безразмерное отношение \(r_{\max} = (p/\rho)_{2,\max}/(p/\rho)_{1,\max}\) не зависит от масштабных коэффициентов \(\rho_0\) и \(p_0\). По графику \((p/\rho)_{2,\max} = 2{,}4\), \((p/\rho)_{1,\max} = 0{,}4\), то есть \(r_{\max} = 6\).

Следовательно, \[\frac{T_{2,\max}}{T_{1,\max}}(1 + \alpha) = k(1 + \alpha) = 6, \quad\text{откуда}\quad \alpha = 0{,}2.\]

Определим теперь отношение \(T_{2,\min}/T_{1,\min}\). Для этого нужно провести касательные к циклам 1 и 2 с максимальным наклоном к оси абсцисс. По графикам находим \(r_{\min} = 11\), откуда \[\frac{T_{2,\min}}{T_{1,\min}} = \frac{11}{1 + \alpha} \approx 9{,}2.\]