Абстрактный процесс

Графиком уравнения рассматриваемого процесса на \(PV\)-диаграмме является ромб, целиком расположенный в первой четверти (рис. 135). Поскольку газ побывал ровно по одному разу во всех допустимых состояниях, он совершил циклический процесс. Можно считать цикл замкнутым, хотя конечное состояние не совпадает с начальным, а лишь бесконечно близко к нему.

1. Работа газа за цикл равна площади, ограниченной циклом на \(PV\)-диаграмме: \[A = 2\Delta P\Delta V.\] 2. Поскольку температура, давление и объём газа в начальном и конечном состояниях одинаковы, согласно уравнению Менделеева–Клапейрона \(PV = \nu RT\) одинаковы и количества газа, откуда \(\alpha = 1\).

3. При выпуске части смеси из сосуда доли газов не изменяются, поэтому можно не рассматривать выпуск газа, а учитывать только добавление другого газа, тогда \(\beta = \nu_{\min}/\nu_{\max}\), где \(\nu_{\min}\) и \(\nu_{\max}\) — минимальное и максимальное количество газа в ходе процесса. Можно убедиться, что \(\beta\) не зависит от выбора начального состояния и направления обхода цикла.

Поскольку множество состояний с одинаковыми температурами и количествами газа образуют гиперболу, \(\nu_{\min}\) достигается в одной из точек 1 или 4, а \(\nu_{\max}\) — где-то на отрезке 2–3. Согласно уравнению Менделеева–Клапейрона \[\nu_1RT = P_0(V_0 - \Delta V),\qquad \nu_2RT = (P_0 - \Delta P)V_0.\] Сравнивая полученные выражения, находим \[\nu_{\min} = \dfrac{1}{RT}\cdot\begin{cases}P_0(V_0 - \Delta V), & \text{если}\ \dfrac{P_0}{\Delta P} \geqslant \dfrac{V_0}{\Delta V};\\[2mm] (P_0 - \Delta P)V_0, & \text{если}\ \dfrac{P_0}{\Delta P} \leqslant \dfrac{V_0}{\Delta V}.\end{cases}\] Для нахождения \(\nu_{\max}\) запишем зависимость \(P(V)\) для участка 2–3: \[P = (P_0 + \Delta P) - \dfrac{\Delta P}{\Delta V}(V - V_0) = \dfrac{P_0\Delta V + \Delta P\Delta V + V_0\Delta P}{\Delta V} - \dfrac{\Delta P}{\Delta V}V,\] подставим её в уравнение Менделеева–Клапейрона: \[\nu RT = \dfrac{P_0\Delta V + \Delta P\Delta V + V_0\Delta P}{\Delta V}V - \dfrac{\Delta P}{\Delta V}V^2,\] продифференцируем по \(V\) и приравняем к нулю: \[P_0 + \Delta P + \dfrac{\Delta P}{\Delta V}V_0 - 2\dfrac{\Delta P}{\Delta V}V = 0,\] откуда \[V = \dfrac{P_0\Delta V + \Delta P\Delta V + V_0\Delta P}{2\Delta P}.\] Если точка с таким объёмом лежит на отрезке 2–3, то есть если \[V_0 \leqslant \dfrac{P_0\Delta V + \Delta P\Delta V + V_0\Delta P}{2\Delta P} \leqslant V_0 + \Delta V,\] или, после упрощения, \[\dfrac{V_0}{\Delta V} - 1 \leqslant \dfrac{P_0}{\Delta P} \leqslant \dfrac{V_0}{\Delta V} + 1,\] то в этой точке достигается \[\nu_{\max} = \dfrac{(P_0\Delta V + \Delta P\Delta V + V_0\Delta P)^2}{4\Delta P\Delta V}.\] Если же она лежит вне отрезка 2–3, то \(\nu_{\max}\) достигается в одном из концов отрезка (наиболее близком к рассматриваемой точке). Таким образом, находим максимальное количество газа: \[\nu_{\max} = \dfrac{1}{RT}\cdot\begin{cases}(P_0 + \Delta P)V_0, & \text{если}\ \dfrac{P_0}{\Delta P} \leqslant \dfrac{V_0}{\Delta V} - 1;\\[2mm] \dfrac{(P_0\Delta V + \Delta P\Delta V + V_0\Delta P)^2}{4\Delta P\Delta V}, & \text{если}\ \dfrac{V_0}{\Delta V} - 1 \leqslant \dfrac{P_0}{\Delta P} \leqslant \dfrac{V_0}{\Delta V} + 1;\\[2mm] P_0(V_0 + \Delta V), & \text{если}\ \dfrac{P_0}{\Delta P} \geqslant \dfrac{V_0}{\Delta V} + 1.\end{cases}\] Окончательный ответ имеет вид \[\beta = \dfrac{\begin{cases}P_0(V_0 - \Delta V), & \text{если}\ \dfrac{P_0}{\Delta P} \geqslant \dfrac{V_0}{\Delta V};\\[2mm] (P_0 - \Delta P)V_0, & \text{если}\ \dfrac{P_0}{\Delta P} \leqslant \dfrac{V_0}{\Delta V};\end{cases}}{\begin{cases}(P_0 + \Delta P)V_0, & \text{если}\ \dfrac{P_0}{\Delta P} \leqslant \dfrac{V_0}{\Delta V} - 1;\\[2mm] \dfrac{(P_0\Delta V + \Delta P\Delta V + V_0\Delta P)^2}{4\Delta P\Delta V}, & \text{если}\ \dfrac{V_0}{\Delta V} - 1 \leqslant \dfrac{P_0}{\Delta P} \leqslant \dfrac{V_0}{\Delta V} + 1;\\[2mm] P_0(V_0 + \Delta V), & \text{если}\ \dfrac{P_0}{\Delta P} \geqslant \dfrac{V_0}{\Delta V} + 1.\end{cases}}.\]