Прямые углы в линзе

Пусть \(x'\) и \(y'\) — координаты точки \(C'\), тогда из свойств тонкой линзы \[\dfrac{1}{x'} + \dfrac{1}{-x} = \dfrac{1}{f}\quad\text{и}\quad\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}\] находим \[x' = \dfrac{fx}{f + x}\quad\text{и}\quad y' = \dfrac{fy}{f + x}.\] Рассмотрим отрезок \(CD\) длиной \(l\), образующий угол \(\alpha\) с осью \(Ox\), и его изображение — отрезок \(C'D'\), образующий угол \(\alpha'\) с осью \(Ox\). Выразим координаты точки \(D\) и её изображения \(D'\): \[x_D = x + l\cos\alpha,\qquad y_D = y + l\sin\alpha;\] \[x'_D = \dfrac{fx_D}{f + x_D} = \dfrac{f(x + l\cos\alpha)}{f + x + l\cos\alpha},\qquad y'_D = \dfrac{fy_D}{f + x_D} = \dfrac{f(y + l\sin\alpha)}{f + x + l\cos\alpha}.\] Зная координаты двух точек отрезка, можно найти его наклон: \[\operatorname{tg}\alpha' = \dfrac{y'_D - y'}{x'_D - x'} = \dfrac{(f + x)\operatorname{tg}\alpha - y}{f}.\] Пусть \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\) — углы наклона катетов треугольника \(ABC\), \(\alpha'_1\) и \(\alpha'_2\) — углы наклона катетов треугольника \(A'B'C'\), тогда условия прямоугольности треугольников примут вид \[\operatorname{tg}\alpha_1\operatorname{tg}\alpha_2 = -1,\qquad \operatorname{tg}\alpha'_1\operatorname{tg}\alpha'_2 = -1.\] Подставив во второе условие выражения \[\operatorname{tg}\alpha'_1 = \dfrac{(f + x)\operatorname{tg}\alpha_1 - y}{f},\qquad \operatorname{tg}\alpha'_2 = \dfrac{(f + x)\operatorname{tg}\alpha_2 - y}{f},\qquad \operatorname{tg}\alpha_2 = -\dfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha_1},\] получим \[\dfrac{(f + x)\operatorname{tg}\alpha_1 - y}{f}\cdot\dfrac{(f + x)\cdot\dfrac{-1}{\operatorname{tg}\alpha_1} - y}{f} = -1,\] что сводится к квадратному уравнению относительно \(\operatorname{tg}\alpha_1\): \[(f + x)y\operatorname{tg}^2\alpha_1 + (x^2 + 2fx - y^2)\operatorname{tg}\alpha_1 - (f + x)y = 0.\] Двумя корнями этого уравнения являются \(\operatorname{tg}\alpha_1\) и \(\operatorname{tg}\alpha_2\): \[\operatorname{tg}\alpha_{1,2} = \dfrac{y^2 - 2fx - x^2 \pm\sqrt{(x^2 + 2fx - y^2)^2 + 4y^2(f + x)^2}}{2y(f + x)}.\] Отметим, что формула справедлива при любых допустимых значениях параметров и что \(x \neq -f\), так как иначе изображение не было бы треугольником.